Znaleźć granicę podanych funkcji Magdalena: Obliczyć granice funkcji:

	sin3x
a) lim x→ 0
	x

	tg2x
b) lim x→0
	tg5x

c) lim x→0 (x cos¹_x ) d) lim x → 0+ (1−2x)^1_x

Mila:

	sin3x
a) 3*		to wskazówka
	3x

Magdalena: w a) wychodzi 3 ? moze jakies wskazowki ?

Magdalena: ok właśnie na to wpadłam. Jakies pomysly do pozostalych ?

Magdalena: Jakby ktoś coś podpowiedział byłabym wdzięczna. Tylko nie rozwiązujcie za mnie całego przykładu

luk20: Z b) sam mam problem, kombinując wyszło mi 0... w c) chyba trzeba skorzystać z 3 funkcji w d) wyrażenie (1−2x)^1_x zamieniłem na e^{1_xln(1−2x)} i tego liczyłem granicę

pigor: b) robimy np. taką "machlojkę" , mianowicie

	tg2x		tg2x		5x		2x
limx→0		= limx→0		*		*		=
	tg5x		2x		tg5x		5x

	2		2
= 1 *1*		=		. ...
	5		5

luk20:

	2
wolfram pokazał, że granica w b) powinna wyjść
	5

luk20:

	tg2x
kombinowałem podobnie, ale czy jest jakieś twierdzenie albo zasada że		lub
	2x

	5x
		jest równe 1?
	tg5x

luk20: Jeśli tak to zapamiętam

pigor: ... no tak, to wszystko wynika z granicy elementarnej (dowód przydługi) , że

	sinx
limx→0		= 1 , którą musisz znać , bo
	x

	tgx		sinx		1		1		1
limx→0		= limx→0		*		= 1*		=		= 1 ,
	x		x		cosx		cos0		1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	x		1		1
a odwrotność , czyli limx→0		= limx→0		=		= 1
	tgx		tgx   x		1

i te granice też radzę pamiętać . ...

luk20: Dzięki wielkie

Magdalena: dziękuję, a jak zrobić d ? bo rada luk20 nie bardzo mi pomogła

pigor: ... d) to nieoznaczoność [1]^∞ , czyli granica z e , więc np. tak : lim_{x →0⁺} (1−2x)^1_x = lim_{x →0⁺} [(1+(−2x)]^{1_−2x* (−2x)* 1_x}=

	1
= limx →0+ e(−2x)* 1x= limx →0+ e− 2xx = e−2=		.
	e2