Prawdopodobienstwo Ala: Ze zbioru {−n,−(n−1),..,−1,0,1,...,n−1,n}, n≥1 losujemy dwie liczby, ktore moga sie powtarzać. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wartości bezwzględnych wylosawanych liczb jest nie wieksza od n.

Jacek Karaśkiewicz: Wszystkich możliwych wyborów jest (2n + 1)². Interesują nas wybory takie, w których suma modułów jest mniejsza, bądź równa n. Jeżeli pierwsza wylosowana to: • n lub −n → można wziąć tylko 0 ⇒ 1 wybór • n−1 lub −(n−1) → można wziąć 0, 1, −1 ⇒ 3 wybory • n−2 lub −(n−2) → można wziąć 0, 1, −1, 2, −2 ⇒ 5 wyborów ... • 1 lub −1 → można wziąć 0, 1, −1, ..., n−1, −(n−1) ⇒ 2n − 1 wyborów • 0 → można wziąć wszystko ⇒ 2n + 1 wyborów Czyli łącznie mamy: 2n + 1 + 2 ⋅ [1 + 3 + ... + (2n − 1)] = = 2n + 1 + 2 ⋅ ∑ⁿ_{k = 1} 2k − 1 = = 2n + 1 + 2 ⋅ (∑ⁿ_{k = 1} 2k − ∑ⁿ_{k = 1} 1) = = 2n + 1 + 4 ⋅ ∑ⁿ_{k = 1} k − 2 ⋅ n = 1 + 4 ⋅ ∑ⁿ_{k = 1} k =

	n ⋅ (n + 1)
= 1 + 4 ⋅		= 1 + 2 ⋅ [n ⋅ (n + 1)] = 2n2 + 2n + 1
	2

	2n2 + 2n + 1		2n2 + 2n + 1
Prawdopodobieństwo wynosi:		=
	(2n + 1)2		4n2 + 4n + 1