Ciąg wymierny
Yoyo: | | an | |
wykazać że jeśli ciąg |
| , gdzie bn}>0, jest monotoniczny, to również |
| | bn | |
| | a1+a2+a3+...+an | |
monotoniczny jest ciąg |
| |
| | b1+b2+b3+...+bn | |
30 lip 22:23
Yoyo: ktokolwiek?
30 lip 23:14
Artur_z_miasta_Neptuna:
chcesz taki dowód dowód prosto do przepisania na kartkę (taki cacy)
31 lip 09:57
Artur_z_miasta_Neptuna:
ciąg monotoniczny, to taki ciąg:
∀
n∊N c
n+1 ≥ c
n
lub
∀
n∊N c
n+1 ≤ c
n
załóżmy, że:
∀
n∊N c
n+1 ≥ c
n
(*) oznaczmy:
b
n+1 = k
n*b
n ; gdzie k∊R
+
a
n+1 = m
n*a
n ; gdzie m∊R
+
skoro ma być to ciąg rosnący
| | an+1 | | mn*an | | mn | | an | |
( |
| = |
| = |
| * |
| ), to: |
| | bn+1 | | kn*bn | | kn | | bn | |
∀
n∊N m
n≥k
n>0
oznaczmy:
| | a1+a2+a3+...+an | |
dn = |
| |
| | b1+b2+...+bn | |
(**) Lemat.1
| | x | | x+1 | |
Jeżeli x≥y>0 to |
| ≥ |
| |
| | y | | y+1 | |
Dowód:
Niech x≥y>0
| x | | x+1 | | x(y+1)−(x+1)y | | x−y | | y−y | |
| − |
| = |
| = |
| ≥ |
| = 0 |
| y | | y+1 | | y(y+1) | | y(y+1) | | y(y+1) | |
| | x | | x+1 | | x | | x+1 | |
czyli: |
| − |
| ≥ 0 ⇒ |
| ≥ |
| |
| | y | | y+1 | | y | | y+1 | |
Dowód.
| | a1 + a2 + .... + an+1 | |
dn+1 = |
| = |
| | b1 + b2 + ... + bn+1 | |
| | a1 + m2a1 + m3m2a1 + ... + (mn+1*mn*...*m2)a1 | |
= |
| |
| | | |
| |
| = |
| b1 + k2a1 + k3k2b1 + ... + (kn+1*kn*...*k2)b1 | |
| | (1+m2(1+m3(...(1+mn(1+mn+1)...)a1 | |
= |
| ≥ |
| | (1+k2(1+k3(...(1+kn(1+kn+1)...)b1 | |
// nierówność zachodzi −−− patrz
(*) //
| | (1+m2(1+m3(...(1+mn(1+kn+1)...)a1 | |
≥ |
| ≥ |
| | (1+k2(1+k3(...(1+kn(1+kn+1)...)b1 | |
// nierówność zachodzi −−− patrz
(**)]//
| | (1+m2(1+m3(...(1+mn)...)a1 | |
≥ |
| = |
| | (1+k2(1+k3(...(1+kn)...)b1 | |
| | a1 + m2a1 + m3m2a1 + ... + (mn*...*m2)a1 | |
= |
| |
| | | |
| |
| = |
| b1 + k2a1 + k3k2b1 + ... + (kn*...*k2)b1 | |
| | a1 + a2 + .... + an | |
= |
| =dn |
| | b1 + b2 + ... + bn | |
c.n.w.
31 lip 10:29
Artur_z_miasta_Neptuna:
wybacz ... dowód jest zły ... w sensie −−− lemat 1 przeczy nierówności (za szybko chciałem to
zrobić
)
31 lip 11:02
Yoyo: @Artur...hmmmm....nie zrobić...jakoś naprowadzić chociaż.
A pozatym nie wiem co to jest nawet lemat ani jak się go wykorzystuje w dowodach
jestem
tylko skromnym maturzystą który stara się ogarnąć materiał na studia
31 lip 18:17
Artur z miasta Neptuna:
To drogi maturzysto ... lemat jest niczym innym jak twierdzeniem, ktore wykorzysuje sie do
dowodzenia jakiegos innego twierdzenia −−− innymi slowy ... lemat to jest twoedzenie 'nizszej'
rangi
31 lip 18:28
Mila: Yoyo rozumiem, że dostałeś się na studia i przygotowujesz się sam z materiałów (jakich?) dla
studentów.
31 lip 18:48
Artur z miasta Neptuna:
Chciałem to jakoś 'finezyjnie' zrobić ... a wystarczy potraktować to młotem:
jest monotoniczny, gdy:
| | an+1 | | an | |
∀n cn+1 = |
| ≥ |
| = cn |
| | bn+1 | | bn | |
lub
| | an+1 | | an | |
∀n cn+1 = |
| ≤ |
| = cn |
| | bn+1 | | bn | |
załóżmy, że:
| | an+1 | | an | |
∀n cn+1 = |
| ≥ |
| = cn |
| | bn+1 | | bn | |
(dowód dla drugiego przypadku jest analogiczny ... po prostu nierówność jest cały czas w drugą
stronę)
skoro c
n jest rosnący to:
c
n+1 ≥ c
n ≥ c
n−1 ≥ ... ≥ c
1
| an+1 | | an | | a1 | |
| ≥ |
| ≥ ... ≥ |
| |
| bn+1 | | bn | | b1 | |
stąd wynika, że:
......
wymnażasz na krzyż każdą nierówność i otrzymujesz:
a
n+1b
n ≥ b
n+1a
n
a
n+1b
n−1 ≥ b
n+1a
n−1
.....
a
n+1b
1 ≥ b
n+1a
1
oznaczmy:
| | a1+a2+...+an | |
dn = |
| |
| | b1+b2+...+bn | |
Dowód.
d
n+1 − d
n =
| | a1+...+an+an+1 | | a1+...+an | |
= |
| − |
| |
| | b1+...+bn+bn+1 | | b1+...+bn | |
/// wspólny mianownik i odejmujesz ułamki ... od tej chwili będę pisał licznik (ponieważ w
mianowniku są tylko wyrazy ciągu b
n >0 ... czyli mianownik >0) ///
(a
1+...+a
n+a
n+1)*(b
1+...+b
n) − (a
1+...+a
n)*(b
1+...+b
n+b
n+1) =
= (a
1+...+a
n)*(b
1+...+b
n)+a
n+1*(b
1+...+b
n) −
− [ (a
1+...+a
n)*(b
1+...+b
n) + (a
1+...+a
n)*b
n+1] = ..... dokończ i skorzystaj z zapisów
z przed rozpoczęci dowodu
31 lip 19:00