Określić wzajemne położenie prostych Miraclepl: Określić wzajemne położenie prostych w 3D l₁: ^x−1₁=^y₂=^z+2₋₁

	⎧	x=2+t
	⎜	y=2+3t
l2:	⎨	z=−3+7t
	⎩	t∊R

Dzień dobry Proszę o pomoc w rozwiązaniu powyższego zadania, z góry dziękuje za wszystkie wskazówki. Szukałem podobnych zadań w internecie i niestety nic konkretnego nie znalazłem oprócz teorii, zrobiłem według niej i dalej nie jestem pewien czy cokolwiek tu wyszło dobrze. Cytuje: "najpierw sprawdź czy są prostopadłe(iloczyn skalarny wektorów kierunkowych równy 0) bądź równoległe(iloczyn wektorowy równy 0). Jeżeli nie są prostopadłe ani równoległe, bierzesz pkt z obu prostych, wyznaczasz z nich wektor, i gdy iloczyn mieszany tych trzech wektorów jest równy zero, proste przecinają się, jeśli nie to są skośne." A więc liczyłem: a) Prostopadłe: wektory kierunkowe prostych → k₁=[1,2,1] k₂=[1,3,7] Iloczyn skalarny ma wyjść równy 0 a w tym wypadku otrzymałem 14 b) Równoległe: iloczyn wektorowy powinien wyjść równy 0. Gdzieś znalazłem, że jest to to samo jakbym policzył wyznacznik macierzy tych wektorów uzupełnionej wersorami i,j,k. Więc policzyłem i detA=11i+k−6j i tu w zasadzie niewiem czy mogę dodać te liczby na zasadzie 11+1−6=6 czyli według tego nie są równoległe? (Jeśli źle proszę o poprawienie). c) Przecinają się lub są skośne: tutaj w zasadzie się zatrzymałem bo niewiem o jakie 3 wektory chodzi − przecież mam wyznaczyć 2 punkty czyli jeden wektor otrzymam. Jeśli jest jakiś prostszy sposób na to zadanie, byłbym ogromnie wdzięczny za podzielenie się nim Pozdrawiam

pigor: ... zgubiłeś znak minus w wektorze k₁ , powinien być k₁=[1,2,−1] , . ...

Miraclepl: hahaha no teraz widzę, dzięki Pigor. Czyli można powiedzieć, że proste są prostopadłe? Tak na marginesie: a) czy liczenie tego wyznacznika macierzy uzupełnionej wersorami aby sprawdzić czy są równoległe jest dobrym sposobem? mogę dodać te liczby, które otrzymałem mimo to, że są pomnożone przez wersory? b) A co do prostych skośnych lub przecinających się: Mógłbyś podać przykład jak wyznaczyć te wektory i policzyć ich iloczyn mieszany? Pozdrawiam

pigor: ... a) moim zdaniem niepotrzebny tu iloczyn wektorowy tych wektorów, tylko wystarczy sprawdzić : jeśli k₁=[1,2,−1] i k₂=[1,3,7] ⇒ k₁=c{k₂ i k∊R , czy stosunek składowych tych wektorów jest taki sam (cost.), a tu oczywiście nie jest , bo ¹₁≠²₃≠−¹₇ , zatem wektory k₁ i k₂ nie są równoległe ; b) punkt K₁=(1,0,2) i wektor k₁=[1,2,−1] − jednej prostej oraz punkt K₂=(2,2,−3) i wektor k₂=[1,3,7] drugiej, a wyznacznik | 2−1 2−0 −3−2 | | 1 2 −5 | | 1 2 −1 | = | 1 2 −1 | = 14−2−15 + 10+3−14 = −4 ≠ 0 , to proste skośne | 1 3 7 | | 1 3 7 | czyli niekomplanarne . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− P.S. gdyby ten wyznacznik = 0 (zero) , to proste te przecinałyby się , czyli byłyby komplanarne w szczególności leżały w jednej płaszczyźnie (tu tak nie jest) i tyle . ...