systemy liczbowe Bartek : Znajdź podstawę b>0 pozycyjnego systemu liczbowego, w którym prawdziwa jest równości: x²=301 No to zacząłem o tak: v=x²=3*b² +0*b¹+1*b⁰=3b² + 1 W rozwiązaniu piszą, że trzeba to doprowadzić do :

	v−1
b2=		. Ale tak na prawdę to w ogóle nie rozumiem logiki tego zadania.
	3

Bartek : Patrzę na to i patrzę i po prostu nie wiem jak to wyliczyć. Rozumiem, że tu musi być jakaś logika między tym b² a x²...ale to wszystko co widzę.

Bartek : Okej, to będę odświeżał co jakiś czas...tymczaskiem

konrad: no to jak przekształcisz to co zapisałeś to Ci to wyjdzie v=3b²+1 3b²=v−1

	v−1
b2=
	3

Bartek : Hehehe kolego To, to ja wiem Nie rozumiem natomiast dlaczego według nich najmniejszą wartością spełniającą ten warunek jest 49, czyli 7² Jeżeli v=x²=7², to wtedy b=4 i wtedy faktycznie warunek jest spełniony,bo b>0 oraz faktycznie x²=3b²+1, ale rzecz w tym, iż przy x=2, b również wychodzi >0 i warunek jest także spełniony. Dlaczego więc autor przytulił się akurat do x=7 oraz b=4? O

Bartek : Hahaha A no właśnie

konrad: ja zrozumiałem, że nie wiesz skąd to się wzięło

konrad: przy x=2, b=1 a taki system chyba nie istnieje

AC: b > 3 ponieważ w systemie po podstawie b cyfry są od 0 do b−1

Bartek : Okej, rozumiem, że muszę otrzymać b takie, by liczba b mogła reprezentować system liczbowy. Po drodze miałem b=√8 oraz inne głupie wyniki, które nie mogą reprezentować rodzaju systemu liczbowego. Okej, jasna rzecz, czyli faktycznie najmniejszą liczbą jest 49 czyli przy x=7 liczba b=4. Natomiast mnie chodzi o to, czy można do tego wyniku dość jakoś krok po kroku algebraicznie...nie wiem....jakoś przez dowód? ...czy trzeba po prostu zrobić to metodą podstawiania kolejnych potęg liczb naturalnych? Bo chodzi o to, że co mam zrobić, jeśli będę musiał wykonać to podstawienie 50 razy, bo wcześniejsze liczby nie będą spełniały takiego warunku? Ot co

konrad: na pewno jakoś się da

Mila: Bardziej złożone systemy liczbowe można już podzielić na: − Addytywne........... − Pozycyjne, które posiadają symbole (cyfry) tylko dla kilku najmniejszych liczb naturalnych: 0, 1, 2, ..., g−1, gdzie g to tzw. podstawa systemu, która może być dowolną liczbą naturalną większą niż 1.

Bartek : @konrad−> tsaaa.... @AC−> jakbyś mógł to mi przybliżyć,bo mam wrażenie że jest to klucz do tego zadania. Dlaczego twoim zdaniem w systemie o podstawie b cyfry są od 0 do b−1 oraz co ma do tego b>3? No mam np 301_b=3*b² + 0*b¹ + 1*b⁰ i co masz na myśli przez:"od 0 do b−1". Chodzi o to, że nie bardzo wiem jak rozumieć twój argument.

konrad: no jak masz np. system dwójkowy, czyli b=2, to masz w nim tylko cyfry 0 i 1, trójkowy b=3 − cyfry 0,1,2 itd. Teraz też dopiero zauważyłem, że treść zadania jest trochę nieprecyzyjna, bo można zrozumieć to tak, że liczba po prawej stronie jak i x muszą być w tym samym systemie pozycyjnym, a z podanego przez Ciebie rozwiązania wynika że x jest liczbą w systemie dziesiętnym.

Bartek : Kurcze, nie wiem...no bardzo bym chciał, ale jeszcze tego nie rozumiem. Chyba spojrzę do wikipedii i poczytam o systemach liczbowych.

Bartek : Okej, okej, no rozumiem...ale przecież liczba 301 składa się z trzech cyfer, a jeżeli b>3, to musiałaby mieć 4 cyfry czyli np 3010, czy nie jest tak? No skoro według autora b=4...

konrad: nazwa systemu mówi ile w nim jest cyfr

konrad: tzn. chodzi o to ile cyfr jest wykorzystywanych do zapisu liczb w danym systemie, a nie z ilu skłąda się liczba w danym systemie

Bartek : A nie, zaraz, co ja za głupoty wypisuę...

Bartek : A no właśnie, już rozumiem...Co zaś do treści zadania, faktycznie jest nieprecyzyjna...

konrad: jakby Ci się przypadkiem udało dojść jak to rozwiązać to napisz

Bartek : Hmmm No właśnie miałem nadzieję konrad, że tu mi ktoś podpowie

Bartek : Inne zadanie, chyba łatwiejsze...dokonaj konwersji dziesiętnej liczby 267₁₀ do postaci o podstawie 5. No to mamy: 267:5=53 r.4 53: 5=10 r.3 10: 5=2 r.0 Tylko teraz nie wiem, czy zapisać to 43₅ czy raczej 34₅? Ponadto konwersja odwrotna...dziwne rzeczy mi wychodzą: 34₅=3*5¹ + 4*5⁰ =15+20

Bartek : 5⁰=1, sory, ale i tak głupoty wychodzą

Bartek : Rany! Ale się walnąłem. Już to idę policzyć jeszcze raz

Bartek : Wiem, wiem...już mi wyszło, ale właściwie to powinno być chyba: (2032)₅ Obliczyłem i się zgadza

Bartek : Albo 2032₍₅₎ ...jak kto woli

Bartek : Czyli zasadniczo jeżeli chcę przekonwertować liczbę piątkową na dwójkową, to najlepiej najpierw przerobić ją na dziesiętną a dopiero potem podzielić przez 2, żeby dojść do dwójkowej...jeśli załapałem.

Mila: Tak, Bartek będzie najlepiej, chociaż jak zauważyłeś, o pomyłki łatwo.

Bartek : Mila, a powiedz...co w sytuacji, gdy mam liczby po przecinku...czyli muszę pomnożyć (a nie podzielić) przez 5? Bo zauważyłem, że w przypadku konwersji binarnej (czyli mnożenia przez 2) te zera i jedynki, to w nieskończoność idą... A np w konwersji piątkowej zauważyłem, że w nieskończoność powtarza mi się 3 Gdy mam 0,39 *5=1 r.95 0,95 *5=4 r.75 0,75 *5=3 r.75 0,75 *5=3 r.75 o to właśnie chodzi, a przecież liczba 3 jest w pozycji najbardziej znaczącej. To jak mam to zapisać? ,(3)41 ?

konrad: 0,14(3)

Mila:

Mila: W części ułamkowej zapis zaczynamy tak, jak napisał Konrad. Bartek, gratulacje! Musisz się teraz wykazywać dobrym przykładem.

Bartek : Dziękować. Przekieruję to zadanie (czyt. to z samej góry) dla Ety. Może trochę lepiej to zrozumiem.

b.: pytanie jest dla jakich b>3 liczba 3b²+1 jest kwadratem liczby całkowitej no to wstawiasz b=4,5,... i sprawdzasz (pytanie jest o jedną podstawę, a nie o wszystkie możliwe, nie jestem pewien, ale rozwiązań jest chyba nieskończenie wiele i podanie jak wyglądają wszystkie jest trudniejsze)

Mila: x²=301 Dobrze rozwiązywałeś, uwaga b≥4 bo podstawa musi być większa od 3 ( liczba 301_(b) ) Dla zrozumienia prostsze zadania: Wjakich systemach liczenia zapisane są liczby: 294₍₁₀₎=600_(x) 23₍₁₀₎=35_(x) 52₍₁₀₎=44_(x) Jeśli zechcesz z ułamkami to też Ci napiszę.

Bartek : Okej Mila,ale mam takie pytania: 1) czy wielkość liczby b, wynika w tym zadaniu bezpośrednio z wartości liczby 301 ? Tzn z faktu, iż liczba 301 składa się z cyfr: 0,1,3 ? Bo mnie się wydawało, że liczba 301 może być też w systemie 5 np 301₅ − z tą tylko różnicą wykorzystane zostają jedynie 3 cyfry z pięciu... 2)czy dojście do rozwiązania tego zadania polega na podstawianiu b≥4 ? No właśnie...myślę, że jeszcze nie bardzo to wszystko rozumiem. Równanie 23₁₀=35_x wydaje mi się sensowne, ale jak z tego równania obliczyć x oraz jak obliczyć x jeśli zamiast 23 mam powiedzmy y, czyli y₁₀=35_x. Poza tym w moim zadaniu dochodzi też kwadrat, więc prawą stronę trzeba jakoś spierwiastkować.

konrad: 1) na tej podstawie możesz tylko określić, że b≥4 2) 3*x¹+5*x⁰=23

Bartek : Okej, rozumiem...ale ad.2 w przykładzie ...=23 jest łatwo,bo wystarczy policzyć x. W moim zadaniu natomiast mam inną sytuację: x²=301 To jak mam to inaczej zapisać? x²*10⁰ =3b² +1 x²=3b² +1 Ale z tego zapisu nie wiele wynika,bo nadal mam dwie niewiadome: x oraz b? Jednej się trzeba pozbyć. Więc co? Chcesz powiedzieć, że po prostu trzeba podstawić b=4, b=5,b=6 itd? No to by się kleiło,bo jak podstawię b=4, to mam wtedy √49=7₁₀ No to zamieniam 7₁₀ na liczbę o podstawie b=4 i otrzymuję wynik konwersji w systemie o podstawie 4. Okej, mam wrażenie że już wiem o co chodzi.

konrad: ja nic mówiłem, że masz podstawiać po kolei każdą liczbę i sprawdzać czy spełnia równanie, ja sam nie wiem jak to pierwsze rozwiązać inną metodą

Bartek : Okej, Mila przyjdzie, to napisze czy to trzeba tak robić lub inaczej.. Kończę, bo za 10 minut do roboty wychodzę...

Mila: x²=3b²+1 ⋀ b∊N ⋀b≥4 3b²=x²−1

	x2−1
b2=
	3

b≥4 to b²≥16 1⁰ b=4

x2−1
	=16
3

x²=49, 49 jest kwadratem liczby 7, b=4 spełnia warunki zadania. SPR. (A po co zamieniasz 7?) 49=3*4²+0*4¹+1*4⁰ 49₍₁₀₎=301₍₄₎ Jeśli masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi, to korzystasz tylko z ograniczeń podanych w zadaniu. Nie widzę innego ograniczenia niż te wykorzystane.( ale może coś mi przyjdzie do głowy?)

konrad: Mila, ale czy jakaś inna metoda czy trzeba tak po kolei sprawdzać każdą liczbę?

Mila: 1) W jakich systemach liczenia prawdziwe są równości? a) 33−14=14 b) 12*3=40 c) 2+2+3=7 rozpisz po kolei. 2) oblicz : a) 1201₍₃₎+212{(3)}=....₍₃₎ bez przeliczania na dziesiętny system b) 1201₍₃₎−212{(3)}=....₍₃₎

Mila: Konrad w tym zadaniu, ( z liczbą 301) w tym momencie nie widzę innego sposobu.

Bartek : O jak fajnie...Mila, no na ciebie zawsze można liczyć no...Nie chcę tutaj nikogo faworyzować, ale fakty są faktami. Ale mam pytanie. Przy liczbie 301_b b≥4 ,ale dlaczego tak jest? chodzi o to czy ja dobrze rozumiem: bo mam cyfry 0,1,2,3 <−czyli w sumie cztery? czy właśnie tak powinienem to rozumieć? Czyli gdy mam np liczbę 608_b, to mam wtedy b≥9, bo mam cyfry: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,(...) ... W sumie 9 cyfr... Czy to o to chodzi?

konrad: tak, o to

Mila: Patrzysz jaka jest największa cyfra w liczbie, tu była 3, zatem system nie może być trójkowy, tylko"wyższy". itd.

Mila: Bartek, Konrad mnie tu wspierał.

konrad: ale ja to tam niewiele pomogłem

Bartek : Wszystko przeczytałem i rozumiem. Dziękować