Czworokąt Mat: Wyznaczyć promień okręgu opisanego na czworokącie ABCD, w którym kąt przy wierzchołku A ma miarę α, kąty przy wierzchołkach B, D są proste oraz BC−a, AD=b. Sporządzić staranny rysunek.

Mila: <B=90⁰,<C=90⁰ − kąty wpisane oparte na średnicy.

Mila: ∡D=∡B=90⁰, ∡C=180−α ( powyżej pomyłka w oznaczeniu)

Eta: |AC|= 2R =x ( oznaczam x , łatwiej mi pisać)

	b		√x2−b2
z ΔACD :		= cosβ ⇒ sinβ= √1−(b/x)2=
	x		x

	a
z ΔBAC:		= sin(α−β)= sinα*cosβ−cosα*sinβ
	x

	a		b		√x2−b2
zatem:		= sinα*		− cosα*		/*x
	x		x		x

a= b*sinα−√x²−b²*cosα √x²−b²*cosα= b*sinα− a /²

	(b*sinα−a)2 +b2*cos2α
x2=
	cos2α

	√b2−2absinα+a2
x=
	|cosα|

	1
to R=		x =....
	2

rumpek: prace mi kurka zabierają

Eta:

pigor: ... no to może rozwiązanie bez pomocniczego kąta β (wystarczą wiadomości kl. I L.O.− biegłe posługiwanie się rachunkiem algebraicznym , np. różnicą kwadratów , itd. ) : niech na rys. Mila |AC|=2R , |AB|=x , |CD|=y , to z pola czworokąta jako sumy pól trójkątów i dwukrotnie tw.Pitagorasa : ¹₂(ax+by) = ¹₂[bxsinα+aysin(180−α)] i x²+a²= 4R² i y²+b²= 4R² ⇔ ⇔ x(a−bsinα) = y(asinα−b) i x² = 4R²−a² i y² = 4R²−b² ⇔ ⇔ (4R²−a²)(a−bsinα)² = (4R²−b²)(asinα−b)² − równanie o niewiadomej R=? ⇔ ⇔ 4R²[(a−bsinα)² − (asinα−b)²] = a²(a−bsinα)² − b²(asinα−b)² ⇔ ⇔ 4R²[(a+b −(a+b)sinα] [(a−b +(a−b)sinα] = (a²−2absinα+b²)(a²−b²) ⇒ ⇒ 4R²(1−sinα)(1+sinα) = a²−2ab+b² ⇒ 4R²cos²α = a²−2absonα+b² ⇒

	a2−2absonα+b2		√a2−2absinα+b2
⇒ 4R2 =		⇒ R=		. ...
	cos2α		2|cosα|

Mila: Jeszcze innym sposobem rozwiązałam, wynik ten sam co u Was. Poprowadziłam równoległą do AB przechodzącą przez punkt C. Prosta podzieliła czworokąt na trapez prostokątny o wysokości h=a i Δprostokątny z kątem α. Zostawiam dalszy ciąg autorowi zadania, obliczenia nie są skomplikowane.

Mat: Dzięki wielki

Eta: No i masz...........do wyboru i koloru