zadanie z wartością bezwględną, własności wartości bezwzględnej Łukasz: Czy jeżeli nierówność √4−x²>x+2 podniesiemy obustronnie do kwadratu, to kwadrat zniesie pierwiastek, czy powstanie wartość bezwzględna po lewej stronie? Wynika to z tej własności, że: (√a)² = a √a² = |a| ?

Łukasz: Wiem, że to wydaje się oczywiste, ale mam wrażenie, że różni nauczyciele mi trochę w głowie pomieszali i teraz już nie jestem tego taki pewien.

Basia: przede wszystkim nie można tej nierówności podnieść obustronnie do kwadratu bez odpowiednich zastrzeżeń. Jakich ?

Łukasz: Chodzi o dziedzinę? To znaczy: 4−x²≥0 czyli: x≤2 ⋁ x≥−2

Jack: chodzi o prawą stronę nierówności (lewa jest nieujemna)

Łukasz: W takim razie trzeba założyć, że prawa strona też jest nieujemna, tak? Czyli x≥−2?

Jack: yeap

Łukasz: W takim razie dziedziną funkcji jest x≥−2. A tak na marginesie, to gdybym chciał podnieść to równanie do sześcianu (tu to pewnie nie ma sensu), to nie ma specjalnych założeń, prawda? W takim razie ponawiam swoje pierwsze pytanie

pigor: ... ale dziedzinę − też ważna − masz złą

Łukasz: 1) Spod pierwiastka dziedzina jest taka: x≤2 ⋁ x≥−2 2) A z tego, że prawa strona musi być, jak lewa, nieujemna, mam to: x≥−2 3) Czyli wszystko razem daje mi to: x≤2 ⋁ x≥−2 No chyba, że w 1) ma być x≤2 ⋀ x≥−2, to wtedy D_f∊R

Jack: generalnie ogarnij spójniki logiczne... i rozwiąż tę nierówność! Powinieneś dostać odp. x∊<−2,1> Owszem, w 1) ma być koniunkcja ale wtedy tym bardziej D_f∉R !

pigor: ... ciężko ci idzie, no to patrz : p{4−x² > x+2 − dana nierówność , to jej dziedzina D= {x∊R: 4−x² ≥0 ⇔ x²≤ 4 ⇔ |x|≤ 4} , czyli D=<−2;2> , a ponieważ prawa strona x+2 ≥0 ⇔ ⇔ x ≥−2 , więc w całej dziedzinie obie strony danej nierówności są nieujemne , no to wtedy p{4−x² > x+2 ⇔ 4−x² > (x+2)² ⇔ 2x²+2x< 0 ⇔ x(x+2)< 0 ⇔ −2< x<0 ⇔ x∊(−2;0) ⊂ D ⇒ zbiór x∊(−2;0) − szukany zbiór rozwiązań danej nierówności .

Łukasz: Ok, już rozumiem. Jak widać moja matematyka leży na łopatkach. I rozkłada się.

Jack: Rozkłada to się twór zwany UE... Głowa do góry!