planimetria Krzychu: Dany jest czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Długośći boków tego czworokąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Pierwszy wyraz jest równy podwójnej różnicy ciągu. Pole czworokąta jest równe P=18√30. Wyznacz różnicę ciągu. 9r²+16r²−12r²cos(180^o−α)=4r²+25r²−40r²cosα 28=40(−cosα)−12cosα 28=−52cosα

	7
cosα=−
	10

	√51
sinα=
	10

Wszystko ok?

Mila: Chyba nie. Eto , r=3? boki:6,9,12,15?Jeszcze raz sprawdzę.

Krzychu: tak, r=3. Gdzie u mnie jest błąd?

Krzychu: może ktoś pomóc?

Eta: Ze wzoru Brahmagupty: P= √(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)

	2r+3r+4r+5r
p=		= 7r
	2

√2r*3r*4r*5r= 18√30 ⇒ 120r⁴= 18²*30 ⇒ r⁴=81 = 3⁴ ⇒ r=3

Krzychu: fajny sposób, tyle że ja chce z tw. cosinusów. Ale ten wzór i tak będzie potrzebny?

Eta: W Twoim rozwiązaniu powinno być: 29r²−20r²cosα= 25r²+24r²cosα

	1
44cosα= 4 ⇒ cosα=
	11

	2√30
to sinα=
	11

dokończ .......... otrzymasz r= 3

Krzychu: ok, ale co teraz ? Bo nie znam żadnego wzoru na pole czworokąta wpisanego w okrąg, poza wzorem Brahmagupty od teraz. Ale w tym wzorze pojawia się jedno ale. http://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Herona#Wz.C3.B3r_Brahmagupty Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:....... (...)W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180 stopni. Końcówka tego wzoru to abcd(cosα)² a jak α=180 (w czworokącie wpiosanym w okrąg) to sam cos180=1 więc w tym wzorze co podałaś powinno być coś jeszcze: −abcd*1 a nie ma.

Eta: e²= 4r²+25r²−2*2r*5r*cosα i e²= 16r²+9r²−2*4r*3r*(−cosα) teraz sprawdź, gdzie masz błąd

Krzychu: POŁOWA. Zatem to jest równe 0. Drugie pytanie cofam .

Eta: Wartość pola >0

Krzychu: ok ok. Ale wzór Brahmagupty i tak i tak bedzie tu potrzebny?

rumpek: Oznaczmy sobie: te 3 boki są to: a₁, a₂, a₃, a₄ czyli: a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, a₁ + 3r skoro mamy podane, iż: a₁ = 2r. rozpisujemy sobie: 2r, 2r + r, 2r + 2r, 2r + 3r. Wykorzystujemy wzór na pole Brahmagupty: i otrzymujemy, że r = 3 |BD|² = 16r² + 25r² − 40r²cosα |BD|² = 4r² + 9r² − 12r²cos(180 −α) 16r² + 25r² − 40r²cosα = 4r² + 9r² + 12r²cosα 41r² − 40r²cosα = 13r² + 13r²cosα 52cosα = −28

	28		7
cosα = −		= −
	52		13

sin²α + cos²α = 1

	49
sin2α +		= 1
	169

	169 − 49
sin2α =
	169

	120
sin2α =
	169

	√120		2√30
sinα =		=
	13		13

	1		2√30
P =		* 4r * 5r *		= 20r2√30/13
	2		13

	1		2√30		6r2√30
P =		* 2r * 3r *		=
	2		13		13

	26r2√30
P =		= 18√30 / * 13
	13

26r²√30 = 234 r² = 9, r > 0 r = 3 Twoim sposobem Stay tuned

Eta: W tym sposobie, który podałeś ,to nie będzie potrzebny

	1		1
P(ABCD)=		*2r*5r*sinα +		*3r*4r*sinα ( sin(180o−α)= sinα
	2		2

	2√30
P(ABCD)= ........... dokończ dla sinα=
	11

i otrzymasz ,że r= 3

Eta: rumpek ja mam w mianowniku 11

rumpek: a ja 13 i wynik też wychodzi poprawny

Eta: Nie lubię 13

rumpek: Tylko, Eto zauważ że ja mam inne oznaczenia na rysunku niż Krzysio I tak wyjdzie poprawnie A 13 są fajne szczególnie w piątek

Krzychu: Dzięki. Ale rumpek to samo mam rozwiązanie w książce, tyle że cosinus tam jest dodatni.

rumpek: ZALEŻY OD OZNACZEŃ

rumpek: Zauważcie, że mam inne oznaczenia

Eta: Ok

Krzychu: nie, popełniłeś błąd w 4 linijce. Wyjdzie dodani. A dodatkowo tam jest 12r²cosα

rumpek: dobrze jest mimo, że napisałem 13r²cosα, a powinno być 12r³cosα to potem dodałem 40+12 i wychodzi 52

rumpek: i zauważ, ze jak bedzie dodatni cos to wynik sie nie zmieni

Krzychu: w sensie dobrze jest mówisz że ten cosinus jest ujemny? Może ja jestem ślepy

Krzychu: no wiem wiem, ale w opdowiedziach dają dodatni, a ujemny to mi nie wychodzi. A gdybym tak przepisał a potem taki (błąd) na maturze dał to może bym stracił 2% a chce mieć równe 100

Mila: Rumpek, zrobiłam też Twoim sposobem.(sposobem Ety też) cosα>0

pigor: hmm, ... straciłbyś nie 2 % tylko 2 punkty procentowe . ...

Mila: Powinno być: −52cos α=−28 (Jest tam błąd rachunkowy)

rumpek: no tak tak zle przepisany minus i tyle postów na maturze bym sprawdzał chociaz już nie muszę

Krzychu: juz wiem, wyjdzie ujemny cosinus gdy kąt między 4r i 5r nazwiemy (180^o−α) a między 2r i 3r α

Mila: Krzychu, chodzi o to, abyś zauważył kąt rozwarty. Oto zadanie na zrozumienie tego problemu z ujemnym cosinusem. Zastosuj twierdzenie cosinusów. Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Marek: aha, czyli że kąt rozwarty trzeba nazywać (180−α) bo rozwarty jest większy od 90 czyli jest w drugiej ćwiartce, czyli jest ujemny. A ze wzoru jest cos(180−α)=−cosα . Czyli do ostrego to nie pasuje. Tak?

rumpek: https://matematykaszkolna.pl/strona/872.html Nioh nioh nioh, tyle w tym temacie, jeżeli kąt przy |∡A| = α, to zatem kąt przy wierzchołku |∡C| = 180^o − α