ciągi ***pola***: 7.52 suma stu kolejnych liczb naturalnych które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 2 wynosi 43950. wyznacz najmniejszą i największą z nich. nauczyciel proponował takie rozwiązanie: a₁+a_n {43950= −−−−− * 100 2 { a_n=a₁+99*7 (←tu zgodnie ze wzorem: a_n=a₁+(n−1)*r ) 1. Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego liczba 7 jest tu podstawiona za "r"? 2. Czy informacja o tym jaka jest reszta z dzielenia jest w tym wypadku zbędna? (nie wykorzystaliśmy jej) 3. Ma ktoś jakiś inny pomysł na to zadanie?

Bogdan: a₁ = 2, a₂ = 9, a₃ = 16, a₄ = 23, ....

Bogdan: To nie są wyrazy ciągu z tego zadania, to jest tylko wyjaśnienie, dlaczego różnica = 7.

***pola***: hmm teraz troszkę nie do tematu ciągów, ale czy mógłbyś mi przypomnieć jak zapisać wielomian, który przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2? (było coś takiego że każdy wielomian można zapisać w postaci W(x)= P(x)+Q(x)*R(x) jeśli się nie mylę, czy w takim razie powinno to wyglądać tak: W(x)=7+Q(x)*2 ?)

Bogdan: a₁₀₀ = a₁ + 99*7 => a₁₀₀ = a₁ + 693

	1
43950 =		* 100 * (a1 + a1 + 693) dzielimy obustronnie przez 50
	2

879 = 2a₁ + 693 dalej już sobie poradzisz

***pola***: dziękuję, w tej samej chwili miałam odpisać, że sobie poradziałm, ale byłeś szybszy

***pola***: czy odpowiesz mi jeszcze ztymi wielomianami? bo mi się przypomniało i nie daje spokoju:(

Bogdan: W zadaniu występuje ciąg arytmetyczny o różnicy 7.

n		2
	= k +		=> n = 7k + 2 dla k, n € N,
7		7

to jest wzór liczby naturalnej, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2.

***pola***: o to mi chodziło. przyznam się, że próbowałam zrobić układ równań z wykorzystaniem n = 7k + 2, ale niestety zbyt dużo niewiadomych i zostałam przy pomyśle nauczyciela.

Bogdan: Można wykorzystać wzór n = 7k + 2, ale to będzie już tylko zabawa. Najmniejsza liczba naturalna n₁ = 7(k + 0) + 2, k − niewiadoma, k € N. Największa to n₁₀₀ = 7(k + 99) + 2 n₁ + n₂ + n₃ + .... + n₁₀₀ = 43950 7(k+0) + 2 + 7(k+1) + 2 + 7(k+2) + 2 + 7(k+3) + 2 + ... + 7(k+99) + 2 = = 7k + 7*0 + 2 + 7k + 7*1 + 2 + 7k + 7*2 + 2 + 7k + 7*3 + 2 + ... + 7k + 7*99 + 2 =

	1
= 100 * 7k + 7(0+1+2+3+ ... +99) + 100*2 = 700k + 7 *		*100*(0 + 99) + 200 =
	2

= 700k + 7*50*99 + 200 = 700k + 34850. 700k + 34850 = 43950 => 700k = 9100 => k = 13. n₁ = 7*13 + 2 = 93 n₁₀₀ = 7*(13 + 99) + 2 = 7*112 + 2 = 786