planimetria - okręgi oko: Proszę bardzo o pomoc w takim zadaniu: Okrąg o środku O1 jest styczny do okręgu o środku O2 w punkcie P. Punkty A i B leżą na okręgu o środku O1, a punkty E i F − na okręgu o środku O2 w taki sposób, że odcinki AE i BF przecinają się w punkcie P (jak na rys.) Uzasadnij, ze trójkąty ABP i EFP są podobne. Mam pytanie, czy cięciwy AB i EF są tu równoległe? Jeśli tak , to skąd to wynika? Bo gdyby były równoległe , to dowód byłby prosty − na podstawie cechy kkk.

Artur z miasta Neptuna: cięciwy nie są równoległe zacznij od tego, że kąty trójkątów przy P są takie same ogólnie masz wykazać, że:

AP		BP		AB
	=		=
EP		FP		EF

co uzyskasz dzięki wykorzystaniu tw. talesa

oko: Tak, kąty trójkątów przy P − to katy wierzchołkowe, czyli równe. Ale aby użyć tw. Talesa, cięciwy AB i EF musiałyby być równoległe (bo ramiona kąta przecięte prostymi równoległymi itd.). I tu mam problem.

Artur z miasta Neptuna: Równość kątów łatwo wykazać (tw. o przecięciu dwóch prostych) Stąd wykazujesz, że BP ∼ FP oraz AP ∼ EP natomiast podobieństwo AB ∼ EF można np, z tw. cosinusów (tutaj zgaduję)

Artur z miasta Neptuna: chociaż co ja gadam −−− ostatnie nie jest potrzebne ... przecież podobieństwo trójkątów masz już przy bbk (bok, bok, kąt).

oko: Ale nadal nie wiem, skąd jest podobieństwo tych boków. Kąty β, γ − rozumiem, ale o jakie tu chodzi twierdzenie o przecięciu 2 prostych. Jeśli możesz, to proszę wyjaśnij.

Basia: dorysuj promienie O₁A, O₁B, O₂F i O₂G powinno Ci to pomóc, a jeżeli nie zgłoś się jutro (no nie już dzisiaj) wieczorem

+-: Kąty BPA= FPE. Kąty GPB=GAP=PEH=PFH=90 jako oparte na srednicy, kąty BPG=FPH i GPA=EPH czyli trójkąty GBP i FPH są podobne oraz AGP i PEH też podobne /mają trzy jednakowe kąty/, a więc BP/2*r1=PF/2*r2 czyli BP/PF=2*r1/2*r2, analogicznie AP/PE=r1/r2, z tego wynika BP/PF=AP/PE=r1/r2. Więc trójkąty APB i EFP posiadają równy kąt i proporcjonalne dwa boki cnd.