Napisać równanie parametryczne i kanoniczne prostej. Miraclepl: Napisać równanie parametryczne i kanoniczne prostej.

⎧	x+2y+z−3=0
⎩	−2x+3y−3z−2=0

Witam ponownie Tym razem mam pytania: 1) Czy dobrze rozumiem, że w tym zadaniu chodzi o znalezienie równania prostej, która powstanie na krawędzi przecięcia dwóch płaszczyzn? 2) Jeśli tak − znalazłem w internecie iż można by rozwiązać te zadanie rozwiązując układ równań powstały z wektorów normalnych tych płaszczyzn czyli: n^→=[1,2,1] i m^→=[−2,3,−3] Oczywiście nie jest to układ Cramera ponieważ liczba niewiadomych jest większa niż liczba równań więc pozostaje metoda Gaussa (wcześniej sprawdziłem rząd macierzy głównej i uzupełnionej = 2, przy czym jest nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 1 parametru). Po całej eliminacji Gaussa zostaje mi następujący układ:

⎧	x=57−97z
⎩	y=17z+87

A więc z jest parametrem? Mogę napisać powyżej z=t∊R ? Równanie kanoniczne będzie wyglądać tak: ^x−(5/7)_−9/7=^y−(8/7)_1/7=t=z Czy to co wyliczyłem jest już rozwiązaniem tego zadania ? Pozdrawiam i z góry dziękuje za pomoc !

pigor: ... no to może ja zrobię po ... swojemu i mam nadzieję znajdziesz odpowiedź na nurtujące cię pytania, a więc mam napisać równanie kanoniczne i parametryczne prostej danej w postaci krawędziowej x+2y+z−3=0 i −2x+3y−3z−2=0 , otóż wybieram sobie np. punkt (x,y,0) leżący na danej prostej tu − krawędzi przecięcia się danych płaszczyzn − wtedy 2x+4y=6 i −2x+3y=2 /+ stronami ⇒ 7y=8 i x=3−2y ⇔ y=⁸₇ i x=⁵₇ , czyli P=(⁵₇,⁸₇,0) − punkt danej prostej , zaś jej wektor kierunkowy u , to iloczyn wektorowy wektorów normalnych danych płaszczyzn : | i j k | u_→=| 1 2 1| = −6i−2j+3k+4k−3i+3j=−9i+j+7k= [−9,1,7] , zatem szukane równanie |−2 3 −3 |

	x−57		y−87		z−7
kanoniczne danej prostej ma postać :		=		=		=t ⇒
	−9		1		0

⇒ (x,y,z)=(⁵₇−9t, ⁸₇+t, 7) i t∊R − szukane równanie parametryczne i ... koniec , ale −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− nie cierpię ułamków, więc II sposób :niech y=0, to (x,0,z) i 2x+2z=6 i −2x−3z=2 /+ stronami ⇒ −z=8 i x=3−z ⇔ z=−8 i x=11, czyli P=(−8,0,11) , a ponieważ u=[−9,1,7] , to szukane równanie kanoniczne :

	x+8		y		z−11
ma postać :		=		=		= t ⇒ (x,y,z)=(−8−9t, t, 11+7t) i t∊R −
	−9		1		0

− szukane równanie parametryczne . ...

pigor: ... kurcze źle, inaczej myślałem, inaczej pisałem , a wszystko to przez ten kretyński edytor (brak podglądu on−line ) : w I sposobie oczywiście powinno być :

	x−57		y−87		z
...		=		=		= t ⇒ (x,y,z) = (57−9t, 87+t, 7t),
	−9		1		7

a w II sposobie :

	x+8		y		z−11
...		=		=		. ...
	−9		1		7

AS: Przyjmuję z = 1 , otrzymuję układ równń x + 2*y = 2 −2*x + 3*y = 5 Rozwiązaniem: x = −4/7 , y = 9/7 Pierwszy punkt prostej : A = (−4/7,9/7,1) dla z = 0 x + 2*y = 3 −2*x + 3*y = 2 Rozwiązaniem: x = 5/7 , y = 8/7 Drugi punkt prostej: B(5/7 , 8/7, 0) Wektor w = AB^→ = [−9/7,1/7,1] Równanie parametryczne prostej x = −4/7 − 9/7*r , y = 9/7 + 1/7*t , z = 1 + t , t ∊ R

Miraclepl: Przeanalizowałem rozwiązanie AS'a i mam pytanka: Punkty mi wyszły takie same, bo podstawiłem te same z=1 i z=0 co Ty. A(⁻⁴₇,⁹₇,1) B(⁹₇,⁻¹₇,0) Następnie obliczam wektor z tych dwóch punktów i tu już mi wyszło inaczej, tyle, że wiem skąd ta rozbieżność ale niewiem dlaczego. AB^→=[⁹₇,⁻¹₇,−1] a u Ciebie wyszło: AB^→=[⁻⁹₇,¹₇,1] czyli zmienione znaki. I tu mam pytanie: we wzorze na wektor jest : [Xb−Xa, Yb−Ya, Zb−Za], czy to jest obojętne co przyjme za punkt pierwszy a co za drugi? Te wektory wynikowe są równoważne? Następnie podstawiając do równań wyszło mi: ^x+4/7_9/7=^y−9/7_−1/7=^z−1₋₁=t i parametrycznie:

⎧	x=97t−47
⎨	y=−17t+97
⎩	z=−t+1

Czyli trochę inaczej (w znakach): czy oba rozwiązania są poprawne? Pozdrawiam

Maslanek: Nie za bardzo wiem o czym to, ale to nieistotne AS, policzony przez Ciebie wektor to BA^→. Nie wiem czy to ma jakieś znaczenie.

AS: Nie ma to praktycznie żadnego .znaczenia,AB^→ = −BA^→ , różni się jedynie zwrotem wektora.

pigor: ... a ponieważ AB^→= [⁹₇,−¹₇,−1]= ¹₇[9,−1,−7]= −¹₇[−9,1,7] , to zamiast tych wektorów możesz wziąć jako kierunkowy prostej AB : wektor u^→= [9,−1,−7] lub u^→= [−9,1,7] . ...

Miraclepl: Czyli tak w teorii do tego zadania: chodzi o to, że współrzędne tych wektorów są proporcjonalne czyli wektory są kolinearne (równoległe do siebie), leżą na jednej prostej (przecięcie płaszczyzn) tylko ich zwroty są przeciwne tak?

pigor: ... bardzo ładnie to podsumowałeś no i to ... kolinearne, choć może za dużo akurat tu powiedziane, ale jest o.k. !