Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt i prostopadłej do płaszczyzny
Miraclepl: Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt
P (1; 3; −1) i prostopadłej do
płaszczyzny
2x−3y+z−3=0.
Witam ponownie, znowu proszę o sprawdzenie rozwiązania i wyjaśnienie krótkie teorii:
Korzystając z podanego równania płaszczyzny od razu mogę odczytać wektor normalny do
płaszczyzny czyli
n→=[2,−3,1], który jest jednocześnie kierunkowym prostej szukanej.
Prosta ma równanie ogólnie, kanoniczne:
x−x1a=y−y1b=z−z1c=t
a więc podstawiam w licznikach współrzędne punktu a w mianowniku wektora normalnego:
x−12=y−3−3=z+11
lub parametrycznie:
x=1+2t
y=3−3t
z=−1+t
t∊R
Dobrze w takim razie (chyba) wyznaczyłem równanie szukanej prostej, dla formalności mam pytanka
(te rozwiązanie wydaje mi się logiczne ale jest zaczerpnięte od kogoś dlatego chce zapytać o
teorię napisaną w sposób zrozumiały):
a) Mając równanie płaszczyzny np.
2x−3y+z−3=0 mogę z niej odczytać wektor normalny czyli
do niej prostopadły, w tym zadaniu akurat to praktycznie rozwiązuje zadanie ale czy jest
możliwość odczytania wektora równoległego do płaszczyzny z tego równania?
b) Pytanie dotyczy równania prostej (kanonicznego):
Znam równania:
x−x1a=y−y1b=z−z1c=t
i
x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1=t
Czy są one równoważne? Chodzi mi o to czy a to jest poprostu wynik działania x2−x1 itd.
Mianownik w tych równaniach jest wektorem kierunkowym prostej ? Jak odczytać w takim razie
wektor normalny prostej z tego równania?
Wiem, że zadaje głupie pytania więc z góry przepraszam i dziękuje za pomoc
Basia:
rozwiązanie jest w porządku
ad.a
bezpośrednio nie, ale skoro masz równanie płaszczyzny możesz sobie wybrać na niej dowolne dwa
punkty A,B i policzyć współrzędne AB
→, który leży na tej płaszczyźnie jest więc do niej
równoległy
ad.b
oczywiście, że są równoważne
ad. wektor normalny prostej
jeżeli masz tylko równanie prostej w przestrzeni to bezpośrednio się nie da
bo też wektor normalny do prostej w przestrzeni nie jest jednoznacznie określony
np. prosta
x=0
y=0
z = t
czyli oś OZ
prostopadły jest do niej i wektor [1,0,0] i wektor [0,1,0] i wektor [1,1,0] itd.
krótko mówiąc każdy leżący na płaszczyźnie XOY (i każdej do niej równoległej)
P.S.
zapis masz niezbyt fortunny: x−x = 0 y−y=0 z−z=0
powinno być: