podzielność wiosna: Udowodnij że dla m i n całkowitych ijeśli m²+n² jest podzielne przez 3 to m i n też dzielą się przez 3

Artur z miasta Neptuna: m²+n² podzielne przez 3 czyli (m²+n²) mod3 = 0 1⁰ niech m mod 3 =0 wtedy m² mod 3 = 0 więc n² mod 3 = 0 ⇔ n mod 3 = 0 2^o niech m mod 3 = 1 wtedy m² mod 3 = 1 3^o niech m mod 3 = 2 wtedy m² mod 3 = 2² mod 3 = 4 mod 3 = 1 w takim razie (dla przypadku 2 i 3) n² mod 3 = 2 .... niemożliwe, bo n² mod3 = 1 lub 0 sprzeczne z założeniem ( (n²+m²) mod 3 = 0) c.n.w. n² mod 3 = 2 ... sprzeczne ... ponieważ n² mod 3 = 1

Gustlik: Arturze mała prośba: pisz językiem zrozumiałym dla licealistów. Nawet uczeń z mat−fizu nie wie co to jest m mod 3, bo nie zna tego zapisu. Ja wiem co to jest, bo na studiach to miałem, ale w LO nie ma tego "modulo" nawet na rozszerzeniu. Pozdrawiam

Leszek: a jak miał to zapisać? reszta z dzielenia zamiast mod?

Mila: Jeżeli autor zadania jest studentem, to zrozumie. Dla licealisty zapisałabym liczby w postaci 3k, 3k+1, 3k+2 i rozważyła poszczególne przypadki.

Gustlik: Lepiej zapisywać tak jak proponuje Mila, bo nie wiemy, kim jest autor zadania. Zadanie wygląda na liceum. A "tradycyjny" sposób zrozumie i licealista i student.

wiosna: liceum więc jak ktoś ma pomysł na to k ? Czyli m zapisać jako 3k a n jako 3k+1?

Artur_z_miasta_Neptuna: w takim razie tradycyjny sposób: 1^o niech m = 3k m² = 9k² = 3(3k²) = 3l 2^o niech m = 3k+1 m² = (3k+1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k²+2k) + 1 = 3l + 1 3^o niech m=3k+2 m² = (3k+2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1 = 3l+1 Wtedy dla punktu 2^o i 3^o, aby spełniona były założenia zadania to n² = 3j+2 co jest sprzeczne ... ponieważ n² może mieć postać albo 3j (punkt 1^o) albo 3j+1 (punkt 2^o i 3^o) Czyli m musi być podzielne przez 3 w takim razie n² = 3j ... czyli n² podzielne przez 3 jako, że n² = n*n ... 3 jest liczbą pierwszą ... to n musi być podzielne przez 3 c.n.w.

wiosna: dzięki a po co aż tyle tych m czy to jest związane z resztami z dzielenia? Jak sie nauczyć tych przeklętych zadań na dowodzenie każde robi się inaczej

wiosna: o mam jeszcze jedno na kwadrat umiem zrobić a tu 4 potęga udowodnij że dla dowolnych rzeczywistych a i b spełniają nierówność a+b=1 to a⁴+b⁴≥¹₈

pigor: założenie a+b=1 , czy a+b ≥1

Eta: Jeżeli a+b= 1 Z nierówności między średnimi:

	a4+b4		a+b		1
4√		≥		=		/4
	2		2		2

	a4+b4		1
		≥		/*2
	2		16

	1
a4+b4≥
	8

c.n.u

wiosna: Dzieki bardzo no własnie jak wpaść na taki pomysł że nierówność , średnie a nie wzory skróconego mnożenia?

pigor: ...lub z założenia a+b=1 ⇒ a²+2ab+b²=1 i dodając stronami tę równość z oczywistą nierównością a²−2ab+b²≥0 ⇒ 2a²+2b²≥1 /:2 ⇔ ⇔ a²+b²≥¹₂ /² ⇒ a⁴+2a²b²+b⁴≥¹₄ i a⁴−2a²b²+b²≥0 , no to dodając stronami i te nierówności ⇒ 2a⁴+2b⁴≥¹₄ /:2 ⇔ a⁴+b⁴≥¹₈ c.n.u.

xyz: O to chyba prostrze ale czy można strony równania dodawać do nierówności?

Eta: Prostsze a nie ostrze

xyz: oczywiście przepraszam

pigor: moim zdaniem tak , bo nierówność nieostra jest równoważna alternatywie (sumie) i tu np. a+b≥1 ⇔ a+b=1 ∨ a+b>1 . ..

Basia: można dodawać nawet bez żadnych założeń: a ≥ b ∧ c ≥ d ⇒ a+c ≥ b+d