Skoczylas czyli przygotowanie do analizy na studiach ___std_call___: Rozpocząłem pracę z podręcznikiem i zbiorem zadań Skoczylasa (Mila, dziękuję za polecenie ). Ruszam od początku. Dany jest zbiór D = <0, ∞) \ Q. Czy ten zbiór jest ograniczony z dołu?

	m
Rozumiem, że Q = {		: n, m ∊ Z ⋀ n ≠ 0}. Dalej jako, że <0, inf) to przedział jest
	n

ograniczony z dołu bo wszystkie jego elementy są ≥ 0? Oraz czy poprawnie to określiłem: A={2, 4, 6, ...} − ogr. z dołu (x ≥ 2). B={2^p : p ∊ Z} − ogr. z dołu (x ≥ 2⁰ ⇔ x ≥ 1} C=(∞, 3) − nie ogr. z dołu (x < 3) ?

___std_call___: Oraz z góry: A=(−inf, 0> org. z góry (x ≤ 0) B={x ∊ R : sin x ≥ 0} zb. wartości sin x to <−1, 1> wybieram (sin x) ≥ 0 czyli mam przedział (0, 1) czyli ograniczeniem z góry jest 1? C={ ⁿ√ 5 : n ∊ N} ograniczony z góry bo wszystkie elementy C są mniejsze równe 5 (5^1/n dla n = 1, = 5)

	1
D = {		+ n : n ∊ N} − ograniczony z góry − wszystkie elementy D <= 2.
	n

Dobrze to w ogóle rozpatruję?

Artur_z_miasta_Neptuna:

	1
wyrażenie (		+ n) nie jest ograniczone z góry ... na pewno tak to wygląda?
	n

___std_call___:

	1		1
Rzeczywiście przecież kolejne elementy to 2, 3+		, 4+		czyli przedział jest
	3		4

ograniczony z dołu bo wszystkie elementy są >= 2.

___std_call___: Nie bardzo wiem jak sobie z tym poradzić: D_n = 10n − n² czy ciąg jest ograniczony z którejś ze stron? Zdaje mi się, że z żadnej nie jest ale pewny nie jestem, proszę o rozwianie moich wątpliwości .

Trivial: A czy widziałeś kiedyś parabolę?

Trivial: 10n − n² = 25 − (n−5)² Teraz już lepiej widać, że jest ograniczony. Jako że −(n−5)² to najwyżej zero, to ciąg jest ograniczony od góry przez 25.

Krzychu: zbiór ograniczony z dołu to zbiór pusty pod funkcją ?

Trivial: zbiór pusty pod funkcją? Czy to jakiś sarkazm?

___std_call___: Trivial − dziękuję. Ogólnie to walczę, walczę ale widzę, że mam sporo braków ze szkoły średniej.

Mila: f(n)=10n−n² ciąg to funkcja określona dla n naturalnych n_w=5 współrzędna wierzchołka paraboli skierowanej w dół (a=1−<0) f(5)=10*5−5²=50−25=25 największa wartość funkcji f(n)

___std_call___: Jak zabrać się za taki przypadek?

	1		1		1
Cn =		+		+ ... +
	n + 1		n + 2		n + n

Jak w ogóle analizować podobne zadania? To jest suma n wyrazów ciągu? Coś z tego wynika?

___std_call___: W kontekście zbadania czy ciąg jest ograniczony.

Mila: Skąd masz to zadanie − C_n=...?

Mila: Ciąg jest ograniczony. Masz studiować, a nie robić zadania na akord.

Krzychu: Trivial, chodziło mi że zbiór pusty czyli ten w których ta funkcja nie ma rozwiązań, chociaż widzę, że to dziwnie wygląda. Może mi ktoś wytłumaczyć, co to za zbiór ograniczony (z góry)/(z dołu) jest?

Mila: Krzychu, co to znaczy, że funkcja nie ma rozwiązań?

Krzychu: Że nie ma żadnego punktu spełniającego równania/nierówności/czy czegoś tam jeszcze funkcji.

Mila: Bez sensu.

Krzychu: To co to znaczy, że funkcja nie ma rozwiązania ?

Mila: Gdzie znalazłeś takie sformułowanie? Cytuj dokładnie.

Krzychu: Nigdzie nie czytałem, nikt mnie tego nie uczył. Pokazane było tylko, że rozwiązaniem układu liniowym może być punkt. Parabola x² nie ma rozwiązań dla (−∞,0). Ma jedno dla 0 i nieskończenie wiele dla (0,+∞).

Basia: @Krzychu To nie tak. Funkcja y=x² nie ma miejsc zerowych innych niż x=0, albo równanie y=x² = 0 ma tylko jedno rozwiązanie x=0. Ani funkcja, ani parabola nie mogą mieć rozwiązań. To sformułowanie nie ma sensu. Rozwiązania mają (lub nie mają) równania i układy równań. Funkcje mają (lub nie mają) miejsca zerowe. Niektóre równania (układy) możesz rozwiązywać graficznie, ale to nie znaczy, że wykres ma rozwiązania. Wykres ma punkty wspólne z osią OX na przykład. Albo wykresy dwóch funkcji mają punkty wspólne. I tak dalej.

Krzychu: czyli Mila wprowadzała mnie w błąd? A punkty na paraboli czym są ? Nie rozwiązaniami ? Czym jest ta linia, że wykresem to wiem.

Basia: Punkty nie są rozwiązaniami. Punkty są co najwyżej graficzną interpretacją rozwiązania np. równania. Mila nie wprowadziła Cię w błąd. Sformułowania, których użyłeś nie mają sensu.

Krzychu: To co to znaczy, że równanie nie ma rozwiązań?

Basia: To znaczy, że nie istnieje liczba, która je spełnia. I tyle. Dojść do tego możesz graficznie tylko to musi mieć ręce i nogi. Przykład: równanie x² + 10 = 0 nie ma rozwiązania, ponieważ parabola, która jest wykresem funkcji y = x²+10 nie ma punktów wspólnych z osią OX tylko po co skoro: x²+10=0 ⇔ x² = −10 sprzeczność ⇒ równanie nie ma rozwiązania

Krzychu: o to zdanie mi własnie chodziło. Dzięki.

Basia: ad. zadanie z ciągiem c_n napisz dokładnie treść, bo już nie wiem co tam trzeba zrobić

Mila: Witaj Basiu! ( Było pływanie?) Zadanie z ciągiem C_n napisał −std call. Zostaw, to rozsądny przyszły student i poradzi sobie, gdy pomyśli. Dajmy mu czas. Potem ewentualnie podpowiemy, chodzi o to, czy jest to ciąg ograniczony z dołu lub góry.

Basia: Witaj Milu ! Było prasowanie , ale pływanie też

___std_call___: Witam! Mila. Pracuję ze Skoczylasem, dokładna treść zadania(1.1.7 c str.38 Definicje, twierdzenia, wzory) brzmi: czy podany ciąg jest ograniczony z góry:

	1		1		1
c) cn =		+		+
	n+1		n+2		n+n

Po prostu mam problem z tym "n", nie bardzo jestem pewien czy dla przykładowo n = 3 ciąg ma

	1		1		1
postać		+		+		i na tym się ciąg konczy?
	3+1		3+2		3+3

Jestem po matmie podstawowej w technikum i mam sporo problemów ale mogę tylko prosić o wskazówki − przecież samemu muszę to zrozumieć.

___std_call___:

	1		1		1
Pomyliłem się ciąg ma postać Cn =		+		... +
	n+1		n+2		n+n

Basia: tak; w mianownikach są sumy od n+1 do n+n czyli

	1		1
c1 =		=
	1+1		2

	1		1		1		1
c2 =		+		=		+
	2+1		2+2		3		4

	1		1		1		1		1		1
c3 =		+		+		=		+		+
	3+1		3+2		3+3		4		5		6

	1		1		1		1		1		1		1		1
c4 =		+		+		+		=		+		+		+
	4+1		4+2		4+3		4+4		5		6		7		8

i tak dalej

Basia: to że jest ograniczony z dołu jest oczywiste (wiesz dlaczego ?) ograniczenie z góry: wskazówka: n+1; n+2; .....; n+n > n

___std_call___: Z dołu ponieważ wszystkie kolejne wyrazy są większe od c₁(?). Z góry, pewny nie jestem ale czy dobrze zdaje mi się, że: C_n ≤ 1 czyli ciąg byłby ograniczony z góry przez 1?

Trivial: Pierwsze spojrzenie − od razu widać, że jakakolwiek wartość tego ciągu nie będzie, będzie większa od 0. Stąd wnioskujemy − ciąg na pewno ograniczony od dołu. Nie wiemy tylko dokładnie przez jaką liczbę, ale tym się jeszcze nie przejmujemy. Moja rada: wykaż, że ciąg jest rosnący.

Trivial: Chyba, że w tym zadaniu nie pytają o dokładne wartości ograniczeń. Wtedy wystarczy nam nasze ograniczenie od dołu w postaci zera. Ten ciąg rzeczywiście jest ograniczony od góry przez np. 1, ale dlaczego?

Basia: nie pytają o wartość ograniczeń i wystarczy powiedzieć, że każdy wyraz ciągu jest >0 czyli ciąg jest ograniczony z dołu, ale gdyby pytali to tak jak napisał Trvial trzeba wykazać, że ciąg jest rosnący i wtedy wiadomo, że liczbą ograniczającą z dołu jest c₁ łatwo wykazać, że z góry jest ograniczony przez 1 std...call musisz to uzasadnić trochę trudniej, że to jest najmniejsza liczba ograniczająca z góry na własny użytek udowodniłam sobie przy pomocy różnicy całek oznaczonych, że jest zbieżny do 1, ale dla std...call na takie sposoby jeszcze o wiele za wcześnie

___std_call___: Nie pytają o dokładną wartość ale staram się przy znaleźć tę wartość tak dla treningu . Z tą jedynką to, że tak powiem − to widać ale z udowodnieniem może być nieco trudniej. Zdaje mi się, że jak będę miał wyraz C_x dla jakiegoś x który ma jakaś wartość, która dąży do ∞ (może używam niepoprawnie tego pojęcia w sensie matematycznym ale mam na myśli takie x, które ma jakaś duzą wartość) to będę miał bardzo dużą sumę x ułamków a patrząc na wartośc kolejnych elementów ciągu C_n wnioskuję, że kolejne elementy ciągu są coraz bliższe 1 więc dla jakiegoś ogromnego indeksu osiągną 1.

Basia: dowód: n+1>n i n+2>n i......i n+n>n ⇒

1		1		1		1		1		1
	<		i		<		i .....i		<
n+1		n		n+2		n		n+n		n

stąd

	1		1		1
cn= ∑k=1....n		< ∑k=1....n		= n*		= 1
	n+k		n		n

jeżeli chodzi o granicę to intuicyjnie rozumujesz dobrze nad formalnym dowodem metodami, które znasz musiałabym się zastanowić, bo jak napisałam sobie to udowodniłam i na tym poprzestałam ale pomysł już mam tylko muszę sprawdzić czy dobry

___std_call___: Cieszę się, że chociaż w dobrym kierunku "myślę" . Zaczynam mieć nadzieję, że chociaż trochę te zagadnienia zrozumiem . Basia, Trivial, Mila − bardzo się cieszę, że mi pomagacie i liczę, że z Waszą pomocą zrozumiem lub przynajmniej poznam schematy działań w ramach ciekawej acz dla mnie trudnej dziedziny jaką jest matematyka .

Trivial: Basiu, Ciąg jest zbieżny do ln2 Uzasadnienie. Jeżeli zdefiniujemy n−tą liczbę harmoniczną jako

	1		1		1		1		1		1
Hn = 1 +		+		+		+ ... +		+		= ∑k=1n		,
	2		3		4		n−1		n		k

to możemy przedstawić nasz ciąg w postaci c_n = H_2n − H_n. Teraz, zdefiniujmy inny ciąg d_n = c_n − (ln(2n)−ln(n)) = H_2n−ln(2n) − (H_n−ln(n)) Wtedy korzystając z magicznej własności, której dowodu nie znam lim_n→∞ (H_n − ln(n)) = γ mamy lim_n→∞ d_n = lim_n→∞ (H_2n−ln(2n) − (H_n−ln(n))) = γ − γ = 0. Teraz lim_n→∞ c_n = lim_n→∞ (d_n + ln(2n)−ln(n)) = 0 + ln2 = ln2.

Jack: ciekawa własność harmoniczna

Basia: no to musiałam się gdzieś pomylić znajdź błąd

	1		1
cn = ∑k=1....2n		− ∑k=1....n
	k		k

	1		1
limcn = lim [ ∑k=1....2n		− ∑k=1....n		] =
	k		k

₀∫² 1dx − ₀∫¹ 1 dx = (2−0) − (1−0) = 2−1 = 1

Trivial: To jest definicja całki?

	1
Δxk =		nie dąży do zera wraz ze wzrostem n.
	k

Trivial: Poza tym, ciąg harmoniczny sam w sobie jest rozbieżny.

Trivial: Oczywiście miałem na myśli rozbieżność szeregu harmonicznego, a nie ciągu o wyrazach

	1
an =		.
	n

Basia: To jest definicja całki Riemana (uproszczona) Dzielę przedział <0;1> na odcinki o długości ¹_{n 0}∫¹ f(x) dx = lim_n→∞ ∑_k=1....n¹_n*f(^k_n)} no oczywiście, że jest błąd jak ją napisałam od razu widać

___std_call___: Przerażacie mnie .

Mila:

1		1
	>
n+1		n+2

1		1
	>
n+1		n+3

1		1
	>
n+1		n+4

. .

1		1
	>		stąd
n+1		n+n

1		1		1		n
	+		+...		≤
n+1		n+2		n+n		n+1

Basia, Trivial?

Trivial: Mila, Basia już dała tego typu rozwiązanie [20 lip 11:31]. I jest ono dobre jeżeli mamy pokazać tylko tyle, że ciąg jest ograniczony od góry np. przez 1.

Mila: OK, przeoczyłam. Pozdrawiam.

Basia: @std...call zignoruj te dywagacje Triviala i moje szukanie granicy tego ciągu to nie ten etap, na którym jesteś to jest trudne i na razie nie musisz tego umieć @Mila to prawda; możesz i tak ograniczyć pokazałam, trochę inaczej ale podobnie o 11:31 natomiast w kwestii granicy to nic nie daje z tego co napisałaś + tw.o trzech ciągach mamy tylko

	1		n
c1=		≤ limcn ≤ lim		= 1
	2		n+1

Trivial dobrze tę granicę policzył

Mila: Dotarłam do materiałów i zadań. Zadania podane są przed granicami. ( jak udowodnić ograniczoność z góry dla

	1
an==(1+		)n ?)
	n

W odpowiedzi do naszego podana liczba ograniczająca z góry ( 1). Zatem albo dowód Basi z 11³¹ albo

	n
wykres f(n) =		co zalecałabym.
	n+1

Ograniczenie z góry jest tam obrazowo przedstawiane: , "wszystkie wyrazy leżą pod pewną prostą."

___std_call___: Zadanie 1.1.12 str 39, sprawdzić, że podany ciągi są rosnące:

	n − 1
a)
	n

	n − 1		n
Muszę wykazać, że		<
	n		n + 1

	n − 1		n
czyli		−		< 0
	n		n + 1

(n − 1)(n + 1)		n2
	−		< 0
n(n+1)		n(n+1)

n2 − n − 1
	< 0
n2 + n

n2 − n − 1
	< 0
n2+ n

i zdaje mi się, że albo popełniłem błąd w przekształceniu, proszę o pomoc .

Koral: Mila plis wejdz do postu mojego

___std_call___:

	n2 − n + 1
Powinno być chyba		a to zdaje się, że dla n ≥ 1 jest ≥ 0 czyli ciąg jest
	n

rosnący?

pigor:

	n−1		n
... otóż , n∊N+ i an=		, an+1=		, więc badam znak
	n		n+1

różnicy :

	n		n−1		n2−(n2−1)		1
an+1−an=		−		=		=		> 0 dla ∀n∊N+,
	n+1		n		n(n+1)		n(n+1)

więc dany ciąg (a_n) jest rosnący . ...

Mila:

	n
std... czy narysowałeś wykres funkcji f(n)=		?
	n+1

To na pewno było w technikum w programie podstawowym. (funkcja homograficzna− ważne). W nierówności błąd wyjaśnił Pigor. (n−1)(n+1)=n²−1 licznik: n²−1−n²=−1<0 Ale lepiej badaj różnicę: a_n+1−a{n}.

b.: jedna uwaga: @18 lip 13:18: ,,B={x ∊ R : sin x ≥ 0} zb. wartości sin x to <−1, 1> wybieram (sin x) ≥ 0 czyli mam przedział (0, 1) czyli ograniczeniem z góry jest 1?'' źle zrozumiałeś czym jest B, B jest zbiorem wszystkich x∊ R spełniających nierówność sinx ≥ 0

Mila: b.: masz rację, chodzi o zbiór argumentów, dla których spełniony jest warunek sinx≥0,a nie wartości. Odpowiedź. B nie jest ograniczony z góry. std napisz dlaczego.

___std_call___: B={x ∊ R : sin x ≥ 0} No tak sin x jest ograniczony bo sin x = <−1, 1> ale dziedzina jest nieograniczona tylko wartości są ograniczone. Co wynika choćby z wykresu funkcji sin. Dobrze?

Basia: intuicyjnie dobrze formalnie: B = ∪_k∊C <2kπ; (2k+1)π> a to jest zbiór nieograniczony z dołu i z góry, ponieważ dla dowolnego naturalnego N>0 znajdę elementy tego zbioru większe od N i elementy tego zbioru mniejsze od −N dowód:

	N		N
2kπ > N ⇔ k >		⇔ k ≥ [		]+1
	2π		2π

	N		N
2kπ < −N ⇔ k < −		⇔ k ≤ [−		]
	2π		2π

a takie k∊C na pewno istnieją (wzięłam sobie 2kπ, bo tak jest najwygodniej, ale to nie jest obowiązkowe)

Maslanek: Oraz czy poprawnie to określiłem: A={2, 4, 6, ...} − ogr. z dołu (x ≥ 2). B={2^p : p ∊ Z} − ogr. z dołu (x ≥ 20 ⇔ x ≥ 1} C=(−∞, 3) − nie ogr. z dołu (x < 3) Jeśli chodzi o B, to ograniczenie dolne to 0.

	1		1
Skoro p∊Z, to limp→−∞ 2p = 2−∞ =		=		= 0.
	2∞		∞

Basia: dobrze po uwzględnieniu poprawki (ostatnie zdanie)

Maslanek: Ode mnie możesz wyznaczyć ograniczenia takiej funkcji: y=√n¹⁰−3n²+15.

Mila: Maslanek, słyszałeś o stopniowaniu trudności?

Basia: Witaj Milu To nie jest takie trudne, jak się dobrze pokombinuje. Podpowiedź dla ___std...call___ : n¹⁰ = n⁸*n² n⁸ > 3 dla każdego n≥2 czyli dla każdego n≥2 n¹⁰ − 3n² + 15 > 3n²−3n²+15 = 15 dla n=1 mamy 13 ponadto n⁸ ≥ 512 dla każdego n≥2 czyli dla każdego n≥2 n¹⁰ − 3n² + 15 ≥ 512n² − 3n²+15 = 509n² +15 > n²

Basia: oj nie 512 tylko 256 (źle na palcach policzyłam)

Maslanek: Nie pomyślałem o n=1 . A gdyby to była funkcja określona dla rzeczywistych? To w ten sposób? 1. f(n) jest parzyste ⇒ rozpatrujemy dla n≥0. 2. f(n)=√n¹⁰−3n²+15.

	10n9−6n
f'(n)=
	2√n10−3n2+15

Sprawdzam czy wyrażenie podpierwiastkowe może przyjmować wartości ujemne (z monotoniczności z pochodnej − dla ułatwienia). g'(n)=10n⁹−6n=n(10n⁸−6). −−dla n≥0 ⇒ g'(n)↗ dla n≥√8{3/5} g'(n)=0 dla n=0, n=√8{3/5} Czyli mamy ekstrema. −−dla n<0 ⇒ g'(n)↗ dla n≤−√8{3/5}. g(0)=15>0 g(√8{3/5})>0 Wyrażenie w mianowniku jest zawsze dodatnie, czyli D=R. f'(n)=0 ⇔ n(10n⁸−6)=0 ⇔ ekstrema g(n). Ostatecznie ograniczeniem dolnym jest g(√8{3/5}). Prawda to?

Maslanek: Chodziło o pierwiastek ósmego stopnia...

Basia: prawda chyba chyba bo zapis jakiś masz dziwny poza tym wystarczy zająć się funkcją podpierwiastkową f(x) = x¹⁰ − 3x² + 15 f'(x) = 10x⁹ − 6x = x(10x⁸−6) x = 0 lub 10x⁸ − 6 = 0 (√10x⁴−√6)(√10x⁴+√6) = 0 ⇔ √10x⁴ − √6 = 0 ⇔ (⁴√10x² − ⁴√6)(⁴√10x²+⁴√6) = 0 ⇔ ⁴√10x² − ⁴√6 = 0 ⇔ (⁸√10x−⁸√6)(⁸√10x+⁸√6)=0 ⇔ x = −⁸√3/5 lub x = ⁸√3/5 x∊(−∞; −⁸√3/5) ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f maleje x∊(−⁸√3/5;0) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f rośnie x∊(0; ⁸√3/5) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f maleje x∊(⁸√3/5;+∞) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie i teraz trzeba by było policzyć f(−⁸√3/5) = f(⁸√3/5) co wydaje mi się dość okropne natomiast dość łatwo wykazać, że to są wartości dodatnie i jeżeli tak to √f(⁸√3/5) jest tym ograniczeniem z dołu

Maslanek: Dokładnie o to mi chodziło Zapis dziwny, bo spontaniczny i nieprzemyślany ani troszkę

___std_call___: Zaprezentowany przez Maselaneka problem przynajmniej na razie jest dla mnie kosmiczny. Wracając po przerwie trafiłem na problem, który nieco mnie wybił z toru tj.

	n2 + 1
Dany jest ciąg bn =		zbadać należy czy ciąg jest monotoniczny od pewnego
	n!

miejsca(*). Zaprezentowany model rozwiązania jest następujący:

bn+1		(n+1)2 + 1   (n+1)!		n+1)2 + 1
	=		=		=
bn		n2 + 1   n!		(n+1)(n2 + 1)

... Co się stało z silnią? (przykład 1.4 pkt. b, str. 25 Analiza Matematyczna przykłady i zadania)

Godzio:

a   b		ad
	=
c   d		bc

Zapiszę tylko dla silni:

1   (n + 1)!		n!
	=		, no ale wiemy, że (n + 1)! = n! * (n + 1)
1   n!		(n + 1)!

wówczas:

n!		1
	=
n! * (n + 1)		n + 1

___std_call___: Rozumiem. Nie znałem tej własności silni. Od razu wszystko mi rozjaśniłeś .

___std_call___:

	bn+1
Jeszcze jedna sprawa − jak poznać kiedy badać iloraz		a kiedy różnicę an+1 −
	nn

a_n w celu zbadania monotoniczności ciągu? Znaczy czy te metody są substytucyjne?

Trivial: dla a_n > 0 mamy: a_n+1 − a_n > 0 ← badamy znak różnicy. a_n+1 > a_n / : a_n (a_n > 0 − znaku nierówności nie zmieniamy)

an+1
	> 1
an

Zatem dla ciągu (a_n) o wyrazach > 0 możemy wykazać, że jest rosnący albo udowadniając a_n+1 − a_n > 0 albo

	an+1
		> 1.
	an

___std_call___: Tylko co gdy ciąg ma taki wzór, że nie wiadomo czy wyrazy są > 0?

Basia: iloraz tylko wtedy gdy wiadomo, że wszystkie wyrazy są dodatnie lub wszystkie ujemne (no i gdy wygodnie) jeżeli nie wiadomo lub wiadomo, że mogą być różne tylko różnica

___std_call___: Dziękuję Basiu za szybką pomoc.

b.: gdy wyrazy są dodatnie i są w postaci iloczynu jakichś wyrażen (a szczególnie gdy występuje

	an+1
silnia), to często badanie ilorazu		daje krótsze rachunki
	an

gdy wyrazy są w postaci sumy np. n wyrazów, to raczej lepiej odejmować sposób z odejmowaniem jest ogólniejszy, bo

	an+1
an+1 − an = an(		− 1),
	an

skąd widać, że jeśli sposób z dzieleniem zadziała, to z odejmowaniem też zadziała (ew. trzeba będzie coś wyciągnąć przed nawias i stąd odejmowanie daje czasami dłuższy zapis)