Znajdź granicę lim n →∞ ( U{ 4 + n }{ 2 + n } )^{ 5n+1 } Magdalena: Znajdź granicę

	4 + n
lim n →∞ (		) 5n+1
	2 + n

Artur_z_miasta_Neptuna: granice takiej postaci = 'lampka w główce' −−− to jest granica 'z eulera' standardowe przekształcenie

4+n		2+n + 2		2		1
	=		= 1 +		= 1 +
2+n		2+n		2+n		2+n   2

i teraz w potędze

	2+n		2
5n+1 =		*		*(5n+1)
	2		2n+2

i otrzymujesz:

	1
lim (1 +		)(2n+2)/2 *2/(2n+2) * (5n+1) =
	2+n   2

nawias + pierwszy człon potęgi → e¹ = e^{1* 2/(2n+2) * (5n+1)} → e^2*5/2 = e⁵ z PG jesteś o jak ładnie a z kim masz matmę ? Może szepnąć o Tobie dobre słówko mam

Magdalena: a co masz jakieś znajomości ?

Wiolina4073: 25 512 2a − 1,41 9

Artur_z_miasta_Neptuna: moja miła −−− jam jest po matmie tamtejszej −−− wszyscy mnie tam znają (nie dociekając dlaczego )

Artur_z_miasta_Neptuna: a żeby nie było, że ja jakiś altruista jestem (i wykorzystuję swe wpływy dla nieznanej mi niewiasty) −−− to w zamian ofiarujesz mi notatki i wiedzę zzz 'biologia środowiska i ekologia'

Magdalena:

	2+ n		2
a dlaczego 5n+1 =		*		* (5n +1) skąd raptem robi się 2n ?
	2		2n+2

Może najpierw spróbuję bez znajomości przebrnąć

pigor: ... np. tak :

	4+n		n(1+4n)
limn→∞(		)5n+1= limn→∞(		)5n+1=
	2+n		n(1+2n)

	(1+4n)n4*4n
= limn→∞(		)5n+1=
	(1+2n)n2*2n

	e4n
= limn→∞(		)5n+1= limn→∞e2n*(5n+1)=
	e2n

= lim_n→∞ e^10n+2_n= e¹⁰ . ...

Artur_z_miasta_Neptuna:

	2
ojjj w tym drugim ułamku miało być		... bez '2' ... po prostu mnożysz i
	n + 2

dzielisz przez wyrażenie 'otrzymane' w mianowniku w nawiasie ponieważ:

	1
limn−>∞ (1 +		)to samo coś z 'n' −> e1
	'coś z 'n' '

Magdalena: ale tak jak pigor rozpisał też jest dobrze prawda?

Artur_z_miasta_Neptuna: też ale nie wiem czy łatwiej Ci będzie to 'skumać' wątpię nawet by pigor tak robił tego typu granice

Magdalena: Może jeszcze 2 ciągi i dam Wam narazie spokój Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność ciągów:

	1		1		1
1) an = ( 1 −		) ( 1 −		) ... ( 1 −		), n ∊ N
	3		32		3n

	(n!)2
2) an =		, n ∊ N
	(2n)!

Artur_z_miasta_Neptuna: Magduś .... przeczytaj sobie to tw. jeszcze raz. zauważ, że ciąg a_n jest ciągiem MALEJĄCYM i dodatnim co za tym idzie − jest ograniczony (z góry przez a₁ ... z dołu przez minimum 0)

Artur_z_miasta_Neptuna: można też stworzyć ciąg b_n, taki że: ∀_n b_n ≥ a_n i wykazać, że b_n −> 0 (jest to de facto małe przekształcenie tw. o trzech ciągach)

Magdalena: nie ogarniam juz chyba nie masz nerwów na mnie

Artur_z_miasta_Neptuna: kobieto −−− PG nauczyła mnie jedno −−− stoicki spokój do wszystkiego co związane z rachunkami

Artur_z_miasta_Neptuna: zresztą −−− musze się starać, zebym nie musiał nawet udawać że 'uważam' na biologii środowiska, która na mnie czeka od października

Magdalena: to bedziesz robił kolejny kierunek?

Artur_z_miasta_Neptuna: Twierdzenie o ciągu monotonicznym Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny, przy czym: − ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny do granicy, która jest kresem górnym zbioru jego wartości, − ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny do granicy, która jest kresem dolnum zbioru jego wartości, 1) a_n jest to ciąg malejący (czyli nierosnący) ograniczony przez minimum 0 wniosek −−− ciąg ten jest zbieżny (granicy wyznaczyć nie musisz − patrz treść polecenia) 2) a_n jest to ciąg malejący (czyli nierosnący) ograniczony przez 0 wniosek −−− ciąg jest zbieżny

Artur_z_miasta_Neptuna: Magduś −−− robię ... siedzę na 'szambonurkologii'

Artur_z_miasta_Neptuna: 1)

	1		1
an = (1−		)*...*(1−		)n
	3		3

	1		1		1
an+1 = (1−		)*...*(1−		)n*(1−		)n+1
	3		3		3

i najlepiej z:

an+1
	=
an

	1   1   1   (1− )*...*(1− )n*(1− )n+1   3   3   3
=		=
	1   1   (1− )*...*(1− )n   3   3

	1		2
= (1−		)n+1 = (		)n+1 < 1 czyli ciag malejacy
	3		3

pigor: ... tak rzadko tak robię , a tak jest najlepiej :

	4+n		2+n+2
limn→∞ (		)5n+1= limn→∞ (		)5n+1=
	2+n		2+n

= lim_n→∞ (1+²_2+n)^{2+n₂*2_n+2 (5n+1)}= lim_n→∞ e^{2 5n+1_n+2} = = e^2*5=e¹⁰ . ...

Artur_z_miasta_Neptuna: 2)

	(n!)2
an =
	(2n)!

	((n+1)!)2		((n+1)!)2
an+1 =		=
	(2(n+1))!		(2n+2)!

an+1		(n!)2   (2n)!
	=		=
an		((n+1)!)2   (2n+2)!

	(n!)*(n!)		(2n+2)!		(2n+1)*(2n+2)
=		*		=		=
	(2n)!		(n+1)!*(n+1)!		(n+1)(n+1)

	(2n+1)*2		2n+1		2n+2 − 1		2n+2		1
=		= 2*		= 2*		= 2*(		−		) =
	n+1		n+1		n+1		n+1		n+1

	1
= 2*(2 −		) > 1 .... cholera ... jest to ciąg rosnący
	n+1

Artur_z_miasta_Neptuna: pigor −−− czyli tak jak pokazałem

Artur_z_miasta_Neptuna: coś spitoliłem bo jest on malejący (na bank) no tak −−− na samym początku zamienimiłem licznik z mianownikiem

Artur_z_miasta_Neptuna: więc:

an+1		(n!)(n+1)(n!)(n+1)		(2n)!
	=		*		=
an		(2n)!(2n+1)(2n+2)		n!*n!

	(n+1)(n+1)		n+1		n+1
=		=		=		<1 ... czyli jest to ciąg
	(2n+1)(2n+2)		2(2n+1)		4n+2

malejący

Magdalena: Jesteś wielki! Dziękuję!

Artur_z_miasta_Neptuna: nie taki znowu wielki −−− raptem 'metr 85' powodzenia w nauce −−− jakbyś miała jakieś problemy − to się odezwij, może temu zaradzę.

Magdalena: dziękuję pewnie jeszcze się odezwę rozumiem, że często można Cię tu zastać?

Artur_z_miasta_Neptuna: jako że nie jestem już (tylko) beztroskim studentem to tak −−− jakoś trzeba 'zabić' nudę pracy

Magdalena: gdzie pracujesz że się nudzisz ?

Artur_z_miasta_Neptuna: ojjj ... taka mała firma w Gdańsku −−−− nuuuuudno jak nic ... ale dzięki temu mam czas by wszystkie seriale obejrzeć

Magdalena: no nie wierzę co wciągnęło najbardziej ?

Artur_z_miasta_Neptuna: emmmm oglądam w ciągu roku: How I met your mother −−− ale jest spring break Big Bang theory − tak samo (spring break) Broken girls −−− ale przestałem bo na comedy central leci Two and haft man −−− pomimo tego, że na tvn7 leciał (ale jakoś ostatni sezonu to już nie to −−− w końcu Charlie to Charlie) The Mentalist spring break to: Suits −−− nie wiem czemu, ale lubię ten serial Fallen Skies No i przypominam sobie jeden serial, który leciał dawien dawno ... ale tego nie napiszę na forum bo się śmiać będą ludzie że taki serial oglądam

Artur_z_miasta_Neptuna: a najbardziej to Suits, How I met your mother i Big Bang Theory

Artur_z_miasta_Neptuna: tfu ... oczywiście summer break ... ja dzisiaj cały czas − co innego myślę co innego mówię