Korzystając z twierdzenia o 3 ciągach obliczyć granice następujących ciągów Magdalena: Korzystając z twierdzenia o 3 ciągach obliczyć granice następujących ciągów 1) lim n→∞ ⁿ√ 3ⁿ + 5ⁿ 2) lim n→∞ ⁿ√ 3ⁿ + πⁿ + eⁿ

	2n + sinn
3)lim n→∞ n√
	3n + πn + en

	n
4) lim n→∞		sin(3n+1)
	n2 + 1

W 3 pierwszych przykładach jest pierwiastek n−tego stopnia nad całością − nie wiem dlaczego tak brzydko to wyszło. Wiem o co chodzi w tym twierdzeniu ogólnie, ale nie mam pomysłów w jaki sposób ograniczać te ciągi. Będę wdzięczna za podpowiedzi

Magdalena: Może ktoś ma pomysł chociaż jak ograniczyć ?

Artur_z_miasta_Neptuna: 1) 5ⁿ ≤ 3ⁿ + 5ⁿ ≤ 5ⁿ + 5ⁿ = 5ⁿ * 2 2) analogicznie 3)

2n − 1		2n + sin n		2n + 1
	≤		≤
πn + πn + πn		3n + πn + en		πn

4) −1 ≤ sin(3n+1) ≤ 1

Magdalena: czyli granica w 1i 2 przykładzie wynosi 1?

Artur_z_miasta_Neptuna: w pierwszym 5 o ile dobrze patrzę bo: ⁿ√5ⁿ = 5 ⁿ√5ⁿ*2 =5 * ⁿ√2 → 5 w drugim π

Artur_z_miasta_Neptuna:

	2
w trzecim
	π

a w czwartym 0

Magdalena: Fakt, w 1 przykł. 5 ale drugiego chyba nie rozumiem skąd wychodzi π, bo mi w mianowniku wychodzi π

Magdalena: sory ja patrzyłam na trzecie to okej wychodzi

Magdalena: chociaż jednak nie wiem jak to rozpisać... nie ogarniam tych granic

Artur_z_miasta_Neptuna: π ← ⁿ√πⁿ ≤ ⁿ√3ⁿ + πⁿ + eⁿ ≤ ⁿ√3*πⁿ = πⁿ√3 → π

Magdalena: dziękuję, a w przykładzie 3 jak dojść do tego że ⁿ√2ⁿ − 1 zbiega do 2 ?

Artur_z_miasta_Neptuna: uwaga −−− ten ułamek jest pod pierwiastkiem

	1		1
n√2n − 1 = n√2n(1 −		) = 2*n√1 −		→ 2*1 = 2
	2n		2n

Magdalena: dziękuję Ci bardzo, powoli mi się coś rozjaśnia w tej małej główce

Artur_z_miasta_Neptuna: tylko tak uważaj na nią ... aby nie zbuntowała się od przepracowania ... do września jeszcze daleko

Magdalena:

	4 + n
A możesz mi jeszcze pomóc w przykładzie lim n→∞ (		) 5n+1
	2 + n

Domyślam się, że tu trzeba będzie skorzystać z definicji liczby e i próbowałam tak zrobić, niestety do niczego nie doszłam

Magdalena: Daleko do września, ale ja muszę powoli to rozpracować, bo inaczej polegnę nie każdy ma lekko

Artur_z_miasta_Neptuna: a jaka uczelnia (i kierunek) jak można zapytać? I materiał obejmuje co dokładnie?

Magdalena: Biotechnologia, no właśnie granice, później pochodne, całki i różne twierdzenia do tego i trochę były szeregi ale podobno na poprawkach nie dają za dużo

Artur_z_miasta_Neptuna: eeee −−− to nie jest tak źle jak opanujesz granice to szeregi to pikuś (przy badaniu szeregów bada się granicę z konkretnego wyrażenia −−− odpowiednie kryteria) pochodne da się nauczyć w tydzień całki −−− tutaj trochę gorzej ale też się da a jaka uczelnia?

Magdalena: Nie wiem czy powinnam się przyznawać, ale zaszalałam − PG

Mila: Magdaleno, weź się najpierw za Krysickiego i przeanalizuj zrobione tam przykłady. Potem rób samodzielnie i zasięgaj porady na forum. Wykorzystuj wolfram alpha, wszystkie całki z Krysickiego są w internecie. Zrób po 100 zadań z każdego działu i zaliczysz wszystko.

Aga1.:

n+4		n+2		2		2
	=		+		=1+
n+2		n+2		n+2		n+2

	2
(1+		)n+2)lim n→∞(5n+1)/(n+2)→(e2))5=e10
	n+2