Jak wyznaczyć wysokość trójkąta w przestrzeni mając dane wierzchołki? Miraclepl: Witam, W trójkącie o wierzchołkach A(1,−1,1) B(2,3,−1) C(2,1,2) mam wyznaczyć wysokość opuszczoną z wierzchołka A. Z tego co odnalazłem w sieci, wygodnie jest wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez bok BC, potem obliczyć odległość punktu A od prostej otrzymanej przed chwilą. I tu jest problem: otrzymałem równanie prostej (proszę o sprawdzenie): ^x−2₂₋₂=^y−3₁₋₃=^z+1₂₊₁ Po skróceniu: ^x−2₀=^y−3₋₂=^z+1₃ A więc mam równanie prostej (chyba), co dalej ? jakiego wzoru mogę użyć, aby wyznaczyć tą odległość (prostej od wierzchołka A). Pozdrawiam i z góry serdecznie dziękuje za wskazówki. Miraclepl

Leszek: W mianowniku nie może być 0.

Miraclepl: No to gdzie zrobilem błąd, jeśli możesz to napisz

Leszek: No właśnie się zastanawiam. Równanie prostej można wyznaczyć gdy nie jest ona równoległa do żadnej płaszczyzny bazowej układu współrzędnych. A twoja a jest równoległa do płaszczyzny YOZ. W takim przypadku lepiej napisać:

y−3		z+1
	=
−2		3

i x=2

Miraclepl: Wyliczając pozostałe niewiadome otrzymuje: y=3 z=−1 a x=2 I co dalej ? Jest jakiś prosty wzór na obliczenie odległości tej prostej od wierzchołka A?

Leszek: To nie są żadne niewiadome tylko współrzędne punktu B. Obawiam się że w twoim przypadku trzeba to inaczej liczyć.

Miraclepl: Fakt współrzędne punktu B. Proszę o napisanie jakichś wskazówek w wolnym czasie, z góry dzięki !

pigor: ... z porównania wzorów na pole Δ :

	|AB→xAC→|		√77
12|BC→|*h = 12|AB→xAC→| ⇒ h=		=		.
	|BC→|		√13

Basia: akurat tu może być to zero "w mianowniku" bo mianownik nie oznacza tutaj dzielenia to jest pierwsza współrzędna wektora kierunkowego prostej u^→=[0; −2; 3] czyli u^→ jest wektorem || do płaszczyzny YOZ

Leszek: Jasne tylko jak wtedy miałby policzyć odległość punktu od prostej?

Basia: a tak jak opisano tutaj: http://www.edukator.pl/portal-edukacyjny/plaszczyzna-w-przestrzeni/1749.html

Basia: albo lepiej nie; tam jest błąd

Leszek: No właśnie zamiast prostej jest płaszczyzna. Nie widziałem jeszcze wzoru na odległość punktu od prostej w przestrzeni 3D.

Basia: jakby ktoś chciał liczyć wprost z definicji to musi na prostej BC znaleźć punkt P taki, że AP^→ ⊥ BC^→ czyli tak jak na płaszczyźnie AP^→◯BC^→ = 0 ponieważ wiemy, że P(2; y; −²₃y+⁷₃) nie powinno to być trudne d = |AP^→|

pigor: ... no to podsumowując, ale nieco inaczej np. II sposób : znajdę punkt A'=(x,y,z) − rzut punktu A=(1,−1,1) na prostą BC: ^x−2₀=^y−3₋₂=^z+1₃=t ⇔ (*) (x,y,z)=(2, 3−2t,−1+3t)=A' i AA'^→⊥ BC^→ (jak pisze Basia ), lub ... równoważnie z równania płaszczyzny przez A prostopadłej do BC tak:: 0(x−1)−2(y+1)+3)z−1)=0 ⇔ 2y−3z+5=0 i 2(3−2t)−3(−1+3t)+5=0 ⇔ −13t=−14 ⇔ t=¹⁴₁₃, więc z (*) A'=(2,3−²⁸₁₃,−1+⁴²₁₃) = (2,¹¹₁₃,²⁹₁₃) , zatem h²=A'A²= (2−1)²+(¹¹₁₃+1)²+(²⁹₁₃−1)²= ¹⁰⁰¹_13*13= ^13*77_13*13 = = ⁷⁷₁₃ ⇒ h=|A'A|=¹₁₃√77*13= ¹₁₃√1001.

Miraclepl: Dziękuje wszystkim za pomoc