Zadanie z parametrem, funkcja kwadratowa. Łukasz: Witam, mam problem z tym zadaniem i prosiłbym o wskazówkę. Dla jakich wartości parametru m oba pierwiastki równania są zawarte między −2 i 4: (m − 1)x² + (m + 1)x + m − 1 = 0 Wiem, że muszą być spełnione następujące warunki: 1) p∊(−2,4), gdzie p=−b/2a 2) Δ ≥ 0 Ale nie wiem, czy a>0, czy a<0. Czy aby sprawdzić f(−2) i f(4) muszę sprawdzić oba przypadki? Chaotycznie to wytłumaczyłem, ale może ktoś wie o co chodzi. Muszę wiedzieć, dokąd są skierowane ramiona, żeby móc sprawdzić pozostałe warunki, np: f(−2)>0 lub f(−2)<0. Jeżeli ktoś jest zainteresowany to odpowiedź wynosi: m∊(1/3;13/21)∪(7/3;3)

Basia: rozbij na dwa przypadki: 1. dla m<1 masz warunki: Δ>0 (bo oba pierwiastki) i f(−2)<0 i f(4)<0 2. dla m>1 masz warunki: Δ>0 (bo oba pierwiastki) i f(−2)>0 i f(4)>0 nie musisz już wtedy badać p

Basia: P.S. dla m=1 masz równanie liniowe i jeden pierwiastek czyli m=1 odpada

Łukasz: Czyli policzenie p nic nie zmieni, zgadza się? W sensie, że nie zaszkodzi, jeśli zostanie policzone poprawnie?

Basia: z tego, że p∊(−2;4) nie wynika jeszcze, że pierwiastki należą do tego przedziału przykład: y = x² − 25 p=0∊(−2;4) ale pierwiastki to −5 i 5 i do niego nie należą dlatego badanie p nie ma sensu

Basia: P.S. to jest implikacja "w drugą stronę" prawdą jest, że: jeżeli x₁,x₂ ∊ (a;b) ⇒ p∊(a;b) nieprawdą jest, że: jeżeli p∊(a;b) ⇒ x₁,x₂ ∊ (a;b) patrz: przykład czyli w tym zadaniu warunek p∊(−2;4) jest warunkiem koniecznym, ale nie jest warunkiem wystarczającym

Łukasz: Dziękuję

pigor: ... niech f(x)=(m−1)x²+(m+1)x+m−1 , czyli f(x)=ax²+bx+c, a (α;β)=(−2;4) , to np. tak : α<x₁<x₂<β ⇔ Δ>0 i af(α)>0 i af(β)>0 ⇒ ⇒ (m+1)²−4(m−1)²>0 i (m−1)[4(m−1)−2(m+1)+m−1]>0 i (m−1)[16(m−1)+4(m+1)+m−1]>0 ⇔ ⇔ −3m²+10m−3>0 i (m−1)(3m−7)>0 i (m−1)(21m−13)>0 ⇔ ⇔ m²−3¹₃m+1<0 i 3(m−1)(m−⁷₃)>0 i 21(m−1)(m−¹³₂₁>0 ⇔ ⇔ (m−¹₃)(m−3)<0 i (m<1 lub m>⁷₃) i (m<¹³₂₁ lub m>1) ⇔ ⇔ ¹₃<m<3 i (m<¹³₂₁ ∨ m>⁷₃) ⇔ ¹₃<m<¹³₂₁ ∨ ⁷₃<m<3 ⇔ ⇔ m∊ (¹₃;¹³₂₁) U (⁷₃;3) − szukany zbiór wartości parametru m.