Całki R0b1: Jakim sposobem można rozwiązać te całki ?

	5sinx
a) ∫		dx
	1+4cosx

	1−3sin3x
b) ∫		dx
	2sin2x

c) ∫ ln (3x+2) dx d) ∫ (3x+2) dx e) ∫ xln(x+2) dx f) ∫ xe^x dx g) ∫ x√1+x² dx h) ∫ lnx dx

	dx
i) ∫
	x+x2

R0b1: ** w d) powinno być ∫ ln(3x+2) dx

Asyy: a) Przez podstawienie t = 4cosx + 1

R0b1: a pozostałe ?

	16
w przykładzie a) wyszło mi		, mógłby ktoś sprawdzić, bo dopiero uczę się
	(1+4cosx)2

całek ?

Krzysiek: b) rozbij na sumę całke (konkretniej na różnicę) c) przez części: u'=1 v=ln(3x+2) d)=c) e)przez części: u'=x v=ln(x+2) f)przez części: u=x v'=e^x g)podstawienie: t=1+x² h) podobnie jak c)

	1		1
i)		=		i rozbijasz na ułamki proste
	x+x2		x(1+x)

Krzysiek: a) źle t=4cosx+1 czyli: dt=−4sinxdx

	1
−		dt=sinxdx
	4

	5sinx		1		−5
zatem:∫		dx = ∫		*(		)dt =...
	1+4cosx		t		4

R0b1: dzięki, a mógłbyś rozpisać przykład b) ?

Krzysiek: akurat b) jest najłatwiejsze, spróbuj Sam. przecież wystarczy rozbić na dwie całki i skorzystać z gotowych wzorów

Artur z miasta Neptuna: R0b1 −−− calki sprawdzaj na wolframalpha.com

Artur z miasta Neptuna: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+5sinx%2F%281%2B4cosx%29+dx i Ci 'źle wyszło'

	1		−1
ile wynosi ∫		dx ;> bo na pewno nie
	x		x2

Mila:

	1		3
b)= ∫		dx−		∫sinxdx=
	2sin2x		2

	1		3
=−		ctgx+		cosx+C
	2		2

Mila: h) ∫lnx= przez części [u=lnx v'=1

	1
du =		dx v=∫1dx=x]
	x

	1
c.d.=xlnx−∫x*		dx =xlnx−∫dx=
	x

= xlnx−x+C teraz zrób pozostałe z logarytmem

Gustlik: ad a) Można wykorzystać wzór:

	f'(x)
∫		dx=ln|f(x)|+C
	f(x)

Wzór ten wynika ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i na pochodna z lnx:

	1		f'(x)
ln|f(x)|=		*f'(x)=
	f(x)		f(x)

Widać, że w liczniku można łatwo "zrobić" pochodną mianownika kombinując na współczynnikach. musimy "zrobić" −4sinx, bo to jest pochodna z 1+4cosx:

	5sinx		sinx
∫		dx=5∫		dx=
	1+4cosx		1+4cosx

	5		−4sinx		5
=−		∫		dx=−		ln|1+4cosx|+C
	4		1+4cosx		4

Gustlik: Poprawiam chochlika:

	1		f'(x)
(ln|f(x)|)'=		*f'(x)=		− zapomniałem dać prima przy logarytmie, reszta
	f(x)		f(x)

jest dobrze.

R0b1: dziękuję wszystkim za pomoc ; )