g analityczna zd: Prosta 2x + y− 13 = 0 zawiera bok AB trojkata ABC, prosta x − y − 5 = 0 zawiera bok BC, a prosta 3x−y− 7 = 0 zawiera dwusieczna kata ACB. Znajdz wierzchołki tego trojkata i oblicz jego pole.

Leszek: Obliczenie współrzędnych punktu B: 2x+y−13=0 x−y−5=0 ________+ 3x=18 x=6 y=x−5=6−5=1 B(6,1) Obliczenie współrzędnych punktu C: 3x−y−7=0 x−y−5=0 _______− 2x−2=0 x=1 y=x−5=−4 C(1,−4) Obliczenie współczynników kierunkowych dwusiecznej ACB(a₁) i prostej BC(a₂) y=3x−7 → a₁=3 y=x−5 → a₂=1 Obliczenie tangensa kąta między dwusieczną ACB i prostą BC:

	3−1		1
tg α1,2=		=
	1+3*1		2

Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AC(a₃):

1		a3−3
	=
2		1+3a3

2a₃−6=1+3a₃ a₃=−7 Wyznaczenie prostej AC: −4=−7*1+b₃ b₃=3 y=−7x+3 Wyznaczenie współrzędnych punktu A: y=x−5 y=−7x+3 ________− 8x=8 x=1 y=1−5=−4 A(−1,−4) Jeszcze trzeba pole policzyć...

Leszek: sorry A ma (1,−4)

Leszek: Długość podstawy AC: a=|AC|=4−(−4)=8 Wysokość opuszczona z B h=6−1=5 Pole A=0.5*a*h=20 j²

Leszek: Pomyłka przy znajdowaniu punktu A ,jeszcze raz: y=−2+13 y=−7x+3 ________− 5x=−10 x=−2 y=(−2)*(−2)+13=17 A(−2,17)

Leszek: Pole trapezu APQB: A₁ = 0.5*(17−(−4)+1−(−4))*6−(−2)=0.5*(21+5)*6=78 Pole trójkąta APC: A₂ = 0.5*21*(1−(−2))=31,5 Pole trójkąta BQC: A₃ = 0.5*5*(6−1)=12,5 Polec trójkąta ABC: A=A₁−(A₂+A₃)=34 j²

pigor: ... P_ΔABC=¹₂(5+21)*8−¹₂*3*31−¹₂5²=4*26−¹₂(63+25)=104−44=60 j²

Gustlik: Obliczę pole najprostszym sposobem − skorzystam z obliczeń Leszka A=(−2,17) B=(6,1) C=(1,−4) Z wektorów: AB^→=[6−(−2), 1−17]=[8, −16] AC^→=[1−(−2), −4−17]=[3, −21] Wyznacznik wektorów: d(AB^→, AC^→)= | 8 −16 | | 3 −21 | =8*(−21)−(−16)*3=−168+48=−120

	1		1
Odp: P=		|d(AB→, AC→)|=		*|−120|=60
	2		2

Leszek: dobra poprawiając moje odliczenia: Pole trapezu APQB: A1 = 0.5*(17−(−4)+1−(−4))*6−(−2)=0.5*(21+5)*8=104 A=A1−(A2+A3)=60 j2 Dzięki że sprawdzacie mnie bo czasami coś pomijam...

pigor: ... no to może policzę inaczej (bez kąta ) wierzchołek A=(x,y)=? np. tak : niech [n[B'] − obraz punktu B=(6,1) w symetrii względem danej dwusiecznej 3x−y−7=0, to prosta BB'⊥ do niej : x+3y+C=0 i 6+3*1+C=0 ⇒ C=−9 , czyli BB': x+3y−9=0 przecina ją w punkcie S − środku odcinka BB' takim, że 3x−y−7=0 i x+3y−9=0 ⇔ x+3y=9 i 9x−3y=21 /+ stronami ⇔ 10x=30 i y=3x−7 ⇔ S=(3,2) , zatem jeśli B'=(x,y), S=(3,20) , B=(6,1) , to x+6=2*3 i y+1=2*2 ⇔ B'=(0,3), a ponieważ C=(1−4) , więc prosta CB': y+4=³⁺⁴₀₋₁(x−1) ⇔ y+4=−7x+7 , czyli CB': 7x+y−3=0 , a wtedy punkt A: to punkt przecięcia się prostych BA i CB' : 2x+y−13=0 i 7x+y−3=0 /− stronami ⇔ 5x=−10 i y=13−2x ⇔ x=−2 i y=17 , czyli A=(−2,17) − szukany 3−ci wierzchołek ΔABC , −−−−−−−−−−−−− | 1 6 1 | i na koniec P_Δ= ¹₂| | 1 1 −4 | | = ¹₂ |17−24−2−1−8−102|=¹₂*120=60j². | 1 −2 17 |