Kolejna całka której nie ogarniam ;/ therry: Prosze o pomoc z tą calką Próbuje to podzielic i niestety coś mi nie wychodzi

	x4+2x2+2
całka		dx
	x3−1

Basia: najpierw podziel licznik przez mianownik pamiętasz jak się dzieli wielomiany ?

Krzysiek: x⁴ +2x² +2=x(x³ −1)+2x² +x+2 rozbijasz na sumę dwóch całek i całkę :

	2x2 +x+2
∫		liczysz rozbijając ułamek na ułamki proste
	x3 −1

Basia:

	2x2+x+2		2x2		x+2
∫		dx = ∫		dx + ∫		dx =
	x3−1		x3−1		x3−1

2		3x2		x+2
	∫		dx +∫		dx =
3		x3−1		x3−1

2		x+2
	ln|x3−1| + ∫		dx
3		x3−1

i tylko tę drugą przez rozkład na ułamki proste

therry: aha bo jezeli pochodna mianownika jest licznikiem wtedy jest ten wzorek z którego Basia skorzystałas? Bo innego sposobu nie ma na policzenie tego? Pytam bo zastanawiam się czy jestem w stanie na kolokwium kapnąć się gdyby było podobne zadanie.

therry: ale i tak dalej niewiem jak to skończyć heh

Basia:

	f'
wzorek jest ∫		= ln|t|, ale on się bierze z podstawienia
	f

gdybyś wzorku nie znał robisz tak: t = x³−1 dt = 3x²dx

	dt
x2dx =
	3

	2x2		2		dt		2		2
∫		dx = ∫		*		=		ln|t| =		ln|x3−1|
	x3−1		t		3		3		3

Basia:

x+2		x+2		A		Bx+C
	=		=		+
x3−1		(x−1)(x2+x+1)		x−1		x2+x+1

A(x²+x+1) + (Bx+C)(x−1) = x+2 Ax² + Ax + A + Bx² − Bx + Cx − C = x+2 (A+B)x² + (A−B+C)x + (A−C) = x+2 A+B = 0 A−B+C = 1 A−C = 2 B = −A 2A+C = 1 A − C = 2 −−−−−−−−−−−−−−−− 3A = 3 A = 1 B = −1 C = −1

	x+2		1		−x−1
∫		dx = ∫		dx + ∫		dx =
	x3−1		x−1		x2+x+1

	x+1
ln|x−1| − ∫		dx
	x2+x+1

	x+1		1		2x+2
∫		dx =		∫		dx =
	x2+x+1		2		x2+x+1

1		2x+1+1
	∫		dx =
2		x2+x+1

1		2x+1		1		1
	∫		dx +		∫		dx =
2		x2+x+1		2		x2+x+1

1		1		1
	ln(x2+x+1) +		∫		dx
2		2		x2+x+1

	1
∫		dx =J3
	x2+x+1

liczymy tak x²+x+1 = (x+¹₂)² + ³₄ = ³₄*[⁴₃(x+¹₂)² + 1 ] = ³₄*[ (²_√3)²(x+¹₂)² + 1 ] =

	2x + 1
34*[ (		)2 + 1 ]
	√3

podstawienie

	2x + 1
t =
	√3

	2
dt =		dx
	√3

	√3
dx =		dt
	2

	4		√3		1
J2 =		*		∫		dt =
	3		2		t2+1

2√3		2√3		2x+1
	arctgt =		arctg
3		3		√3

pozbieraj to razem

Mila: Został początek, a właściwie dzielenie; (x⁴+2x²+2):(x³−1)=x x⁴−x −−−−−−−−−−− 2x²+x+2 to jest reszta stąd

	2x2+x+2
(x4+2x2+2):(x3−1)=x+
	x3−1

	(x4+2x2+2)		2x2+x+2
∫		dx=∫xdx+∫		dx
	(x3−1)		x3−1

dalej Basia policzyła Mam wynik, ale będzie inny, zatem nie piszę.( trochę inaczej liczyłam ).