No więc hej zadanie z analizy ,którego nie umiem zrobić Jestem w ciemne d*** -.-: Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: y=−x3−x2+x+5 oraz y=exx Wyznacz wartość największą na przedziale [0,2](w obu przypadkach ten sam przedział).

Basia: najpierw napisz to porządnie

Leszek: Chyba 1 ma być: y=−x³−x²+x+5 a 2: y=e^xx

Basia: no to pobawię się (2); pierwsze to banał

Jestem w ciemne d*** -.-: Zatem jeszcze raz W podanych przykładach prosze wyznaczyć przedziały monotoniczności jak i ekstreme funkcji. Przy każdym przykładzie proszę wyznaczyć wartość największą na przedziale [0;2] : a) y= −x³ −x² + x +5 b) y=exx No porządniej nie potrafię

Jestem w ciemne d*** -.-: Banał ,czy nie miło by było jakbym się dowiedział jak rozwiązać owy banał. Nie żebram tylko o gotowe rozwiązanie ale szukam też kogoś kto by mi to wytłumaczył w taki prosty sposób, jak dla osoby bez połowy mózgu lub coś

Leszek: b) "y=exx" rozpisz ten wzór słownie jak inaczej nie potrafisz bo jedynie można zgadywać jak to wygląda poprawnie.

Jestem w ciemne d*** -.-: Leszku wybacz ale naprawdę tak to wygląda jak wygląda, nie jest to moim wymysłem. To jest zadanie jakie dostałem od wykładowcy. Też mi oczy wyszły na wierzch jak to zobaczyłem

Basia: f(x) = e^xx D = R₊ i nie może to być przedział [0;2] dla x=0 ta funkcja nie jest określona sprawdzimy wobec tego przedział (0,2] f'(x) = e^xx*(x^x)' liczę oddzielnie (x^x)' żeby tego ciągle nie przepisywać (x^x)' = (e^lnxx)' = (e^x*lnx)' = e^x*lnx*(x*lnx)' = e^x*lnx*[1*lnx + x*¹_x] = e^x*lnx*(1+lnx) f'(x) = e^xx*e^x*lnx*(1+lnx) e^xx*e^x*lnx > 0 dla każdego x∊R₊ czyli miejsce zerowe i znak pochodnej zależą tylko od czynnika 1+lnx

	1
f'(x) = 0 ⇔ 1+lnx = 0 ⇔ lnx = −1 ⇔ x = e−1 =
	e

x∊(0;¹_e) ⇒ 1+lnx<0 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje x∊¹_e;+∞) ⇒ 1+lnx>0 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie

	1
czyli w punkcie x0 =		osiąga minimum
	e

lim_x→0⁺ ln(x^x) = lim_x→0⁺ [x*lnx] =

	lnx
limx→0+		= (na mocy reguły de l'Hospitala)
	1x

	1x
limx→0+		= limx→0+ [−x] = 0
	−1x2

stąd lim_x→0⁺ x^x = e⁰ = 1 czyli lim_x→0⁺e^xx = e¹ = e czyli ta funkcja maleje od e do e ^(1/e)1/e a potem rośnie czyli wartością największą będzie f(2) = e²

Basia: to drugie rozwiązałam całe, bo jest dość trudne w porównaniu z pierwszym wręcz za trudne może to jednak miało być jakoś inaczej pierwsze jeżeli chcesz możemy rozwiązać razem; krok po kroku

Basia: poprawka do ostatniego zdania z 19:40 czyli wartością największą w przedziale (0;2] jest f(2) = e² może to miało być y = exp(x) = e^x (ale to znów za proste)

Leszek: a nie będzie to f(2) = e⁴ ?

Basia: będzie oczywiście; zgubiłam jedno x e²² = e⁴

Jestem w ciemne d*** -.-: Może dajmy sobie spokój z 2 bo widze ,że i tak tego nie pojme ale Basiu bardzo wdzięczny będe jak by Ci się chciało robic ze mna to 1 krok po kroku

Basia: no to pierwsza rzecz dziedzina; wiesz co tu będzie dziedziną ?

Jestem w ciemne d*** -.-: Wszystkie rzeczywiste liczby? Błagam nie bij tylko jak walne głupote

Basia: ależ dobrze; D=R no to teraz spróbuj policzyć pochodną

Jestem w ciemne d*** -.-: y= −x³ −x² + x +5 pochodna: y=−3x² −x +1 Dobrze

Basia: y' = −3x² − 2x + 1 teraz szukamy miejsca zerowego pochodnej y'=0 ⇔ −3x² − 2x + 1 = 0 czyli Δ i pierwiastki to na pewno pamiętasz ze szkoły policz i podaj wyniki

Leszek: y=−3x² −2x +1

Jestem w ciemne d*** -.-: A faktycznie 2 mi uciekła, przepraszam przepraszam x₁ = 1/3 x₂ = −1

Basia: dobrze; teraz określamy znak pochodnej najprościej jak można czyli szkicujemy jej wykres to jest parabola; ramiona w dół; miejsca zerowe masz spróbuj to sobie naszkicować i napisać co widzisz podpowiem jak to powinno wyglądać: x∊(−∞; −1) ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f. maleje spróbuj dokończyć

Jestem w ciemne d*** -.-: Zatem : x∊(−∞;−1) ⇒ f(x)<0 ⇒f maleje ; x∊(−1;1/3) ⇒ f(x)>0 ⇒f rośnie; x∊(1/3;+∞) ⇒ f(x)<0 ⇒f maleje Taak?

Leszek: Chodzi o to że jak pochodna jest ujemna to funkcja maleje, pochodna jest dodatnia to funkcja rośnie, wykres pochodnej przecina oś OX i maleje to funkcja ma maksimum wykres pochodnej przecina oś OX i rośnie to funkcja ma minimum

Leszek: tak dobrze

Jestem w ciemne d*** -.-: No okej jak na razie rozumiem, Czyli max to −1 a min to 1/3 dobrze zrozumiałem?

Basia: oczywiście, że tak ↘↗ ⇒ dla x=−1 ma minimum ↗↘ ⇒ dla x=¹₃ ma maksimum czyli x_min = −1 f_min = f(−1) = −(−1)³−(−1)²+(−1)+5 = 1−1−1+5 = 4 a x_max = ¹₃ f_max = f(1/3) = ...... to musisz policzyć; napisz wynik i potem zajmiemy się przedziałem [0;2]

Leszek: raczej odwrotnie

Basia: to "oczywiście, że tak" było do poprzedniego wpisu z 20:21

Jestem w ciemne d*** -.-: Tfu tfu minimum przy −1 maksimum przy 1/3. x_max =1/3 f_max =f(1/3)=−(¹₃)³ −(¹₃)² +¹₃+5= −¹₂₇−¹₉+¹₃+5= =−¹₂₇−³₂₇+⁹₂₇+5= 5 ⁵₂₇

Basia: dobrze; no to teraz przedział [0;2] należy do niego nasze x_max = ¹₃ w przedziale [0;¹₃) funkcja rośnie bo to podzbiór przedziału (−1; ¹₃) w przedziale (¹₃;2] maleje bo to podzbiór przedziału (¹₃;+∞) no to nie ma mocnych f_max = 5⁵₂₇ jest wartością największą w tym przedziale

Jestem w ciemne d*** -.-: Hmm aha to tak to się je

Jestem w ciemne d*** -.-: Zatem dziękuje za cierpliwość i chęć wytłumaczenia

Basia: uwaga: nie zawsze tak będzie np. w przedziale [−2;10] wartością największą będzie f(−2) = 7 a najmniejszą f(10) = −1100+15 = −1085 dla przedziału [0;2] nie ma takiej potrzeby, ale jak już w przedziale "więcej się dzieje" warto sprawdzić wartości na jego końcach

Basia: powodzenia

Jestem w ciemne d*** -.-: Dziękuje, może zdam :3

Leszek: To teraz zrób podobne zadanie dla y = 3x³ − 6x² + 2x + 10 przedział [−3, 4]

Binka: Basiu wnikliwie analizuję przykład trudniejszy czyli b i ugrzęzłam w swoim myśleniu przy granicach. Czy tu chodzi o zbadanie granicy prawostronnej przy 0 (z podanego przedziału − skoro maleje) dla f `(x) ? Jeżeli tak Basiu to wytłumacz mi bo po prostu nie wiem dlaczego pominęłaś (1+lnx) dla lim O⁺ ? Pomóż proszę bo zaintrygował mnie ten przykład.

Basia: bo liczę granicę funkcji, a nie granicę pochodnej a granicę funkcji dlatego, że mam tam (?) przedział (0,2] no to muszę wiedzieć jak ta funkcja się przy x→0⁺ zachowuje (wiem, z pochodnej, że maleje, ale nie wiem od jakiej wartości zaczyna, kolokwialnie mówiąc )

Basia: granicy x^x nie policzę wprost x^x = e^lnxx i liczę sobie granicę lnx^x = x*lnx, żeby już ciągle tego e^.... nie przepisywać

Binka: Już rozumiem. Policzyłaś lim x^x aby potem uzyskać lim e^xx Tak ?

Binka: Super już rozumiem. Naprawdę fajny przykład. Dziękuję za wyjaśnienie

Basia: właśnie tak; etapami, bo pisanie tych potęg jest dobijające, a to przecież to samo