Jesli miałby ktoś czas i troche chęci do zabawy z całkami therry: Jesli miałby ktoś czas i troche chęci pobawić się z tymi zadaniami z całek 7,8,9 chociaż po jednym przykładzie z tych zadań to byłbym bardzo wdzięczny http://minus.com/lMFOPNZiWJ6es

Krzysiek: 7) wzór na dł. łuku: ∫_a^b √1+(y')² dx gdzie w podpunkcie a) a=−1,b=1 y=arcsinx+√1−x² 8)rysujesz wykresy,wyznaczasz przedział całkowania dla 'x' jeżeli nie masz go podanego, następnie patrzysz która funkcja np: f(x) i g(x) przyjmuje większe wartości, jeżeli f(x)≥g(x) (na przedziale [a,b]) to pole pomiędzy wykresami f(x),g(x) to: ∫_a^b [ f(x)−g(x)]dx a) ∫_1/2¹ (2^x −log₂ x) dx 9),10) http://pl.wikipedia.org/wiki/Bry%C5%82a_obrotowa

Artur_z_miasta_Neptuna: długośc krzywej na odcinku [a,b] = ∫_a^b √1+ (f'(x))² dx długośc obszaru ograniczonego krzywymi na odcinku [a,b] = ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx gdzie: f(x) ≥ g(x) dla każdego x∊<a,b> (w przeciwnym razie należy dzielić przedziały na mniejsze, aby zachodziła ta nierówność) co do ostatniego to też byl jakiś wzór −−− nie pamiętam go obecnie

Asyy: 7b)

	1		sinx
(1−lncosx)' = −		* (−sinx) =		= tgx
	cosx		cosx

|L| = ₀ ∫ ^π₄ √1 + tg² x dx .

	cos2 x		sin2 x
∫ √1 + tg2 x dx = ∫ √		+		dx =
	cos2 x		cos2 x

	cos2 x + sin2 x		1
= ∫ √		dx = ∫ √		dx =
	cos2 x		cos2 x

	1
= ∫ √		dx = ln( tg(x2 + π4) )
	cosx

. |L| = ln( tg(^π₈ + ^2π₈)) − ln (tg(^π₄)) = ln( tg(^3π₈))

Asyy:

	1
tam bez pierwiastka po √		dx
	cos2 x

Krzysiek: w przedostatniej linijce nie powinno być pierwiastka w sumie jak już rozwiązałeś zadanie to można było napisać w jaki sposób policzyć tą całkę:

	1
∫		dx (przynajmniej ja w pamięci nie policzę takiej całki)
	cosx

1 sposób: podstawienie uniwersalne:

	x
t=tg
	2

2 sposób: pomnożenie licznika i mianownika przez cosx, i potem podstawienie: t=cosx, i rozbicie na ułamki proste

Mila: 7a) y=arcsinx+√1−x²

	1−x
y'=
	√1−x2

	1−x
L(x)=∫√1+(		)2dx=
	√1−x2

	1−x
=∫√1+		dx=
	1+x

	2
=∫√		dx policzysz dalej?
	1+x

Mila: Witaj Krzysiek, czy wiesz jaka jest formuła w wolframie na długość łuku? Assy chyba skorzystał z gotowego wyniku na całkę z 1/cosx. (taki wynik podaje Krysicki)

Krzysiek: Witaj Mila, niestety nie wiem, ale można przecież napisać odpowiednią całkę oznaczoną (lub nieoznaczoną wtedy mamy krok po kroku) i poznamy wynik.

Mila: Niestety nie potrafię korzystać z opcji step by step ( Nie musze, mam swoje sposoby), ale o pomyłkę nie trudno i chcę sprawdzić czasem swoje rachunki programem, zamiast liczyc jeszcze raz. Dziękuję.

Asyy: Po prostu miałem tę całkę w swoich wzorach, a metody rozwiązania podał Krzysiek

Mila: Asyy, tak myślałam. Jeśli autor zadania ma pytania to odpowiemy.

Asyy: 9a)

	−2x		−x
(√4−x2)' =		=
	2√4−x2		√4−x2

	−x
Pp = 2π −1 ∫ 1 √4−x2 √1+ (		)2 dx .
	√4−x2

	−x		x2
∫√4−x2 √1+ (		)2dx = ∫ √4−x2 √1 +		dx =
	√4−x2		4−x2

	4−x2		x2		2
= ∫ √4−x2 √		+		dx = ∫		√4−x2 dx =
	4−x2		4−x2		√4−x2

= ∫2 dx = 2x + C . P_p = 2π(2*1 − 2*(−1)) = 8π [j²]

Mila: 8) a Naszkicuj wykresy, wykres 2^x leży nad wykresem funkcji log₂x. f(x)=log₂x g(x)=2^x przedział całkownia : <0.5,1>

	2x
Pole =0.5∫1(2x−log2x)dx=		−∫log2x dx= teraz przez części (opuszczam granice
	ln2

dla wygody w pisaniu) [log₂x=u dv=dx

1
	dx=du v=x]
xln2

	2x		1
cd. =		−{xlog2x−∫		dx}=
	ln2		ln2

	2x		x		2x+x−xlnx
=		−{xlog2x−		}=		( zamianiłam log2x na logarytm naturalny)
	ln2		ln2		ln2

	21+1−1*ln1		20.5+0.5−0.5*ln0.5
pole =		−(		)dokończ
	ln2		ln2

Asyy: 10a) V = π ₁ ∫ ^e (x√lnx)² dx . ∫ (x√lnx)² dx = ∫ x² lnx dx = ;

	1
f(x) = lnx => f'(x) =
	x

	x3
g'(x) = x2 => g(x) =
	3

	x3		1		x3		x3		1
; =		lnx − ∫				dx =		lnx −		∫ x2 dx =
	3		x		3		3		3

	x3		x3
=		lnx −		+ C
	3		9

	e3		e3		ln1		1
V = π ( (		lne −		) − (		−		)) =
	3		9		1		9

	e3		e3		1
= π(		lne −		+		)
	3		9		9

therry: Dziękuje serdecznie za pomoc

Mila:

Mila: 10b) y=arcsinx x <0,1> V=π ₀∫¹ (arcsinx)²dx= podstawienie |arcsinx=t stąd x=sint dx=cost dt| =∫t²cost dt= teraz przez części; [ t²=u dv=costdt 2tdt=du v=∫costdt=sint cd =t²sint−∫sint *2tdt= t²*sint−2∫tsintdt=(**) obliczam całkę:∫tsintdt= [przez części:t=u i dv=sintdt dt=du v=−cost] =−t*cost+∫costdt=−t*cost+sint wracamy do (**) i podstawiamy znowu: t=arcsinx sint=x cost=√1−sin^t=√1−x² stąd =t²*sint−2(−t*cost+sint)= F(x)=x*(arcsinx)²+2arcsinx*√1−x²−2x zostaje Ci obliczyć wartość całki oznaczonej: F(1)−F(0)

Mila: V=π*(F(1)−F(0))