Proszę o wytłumaczenie jak doszło do ustalenia wyniku w18: Dla zadania: Cztery kule umieszczono w sposób losowy w 3 szufladach.Jakie jest prawdopodobieństwo,że co najmniej jedna szuflada zostanie pusta odpowiedź ma postać p = 3*2⁴−3 / 3⁴.Proszę bardzo o wytłumaczenie zadania.Za odpowiedź dziękuję.

Patronus: Ja to widzę tak: −−−1−−−−1−−−− Jedynki to końce szuflad w puste miejsca między, przed i za nimi można powstawiać kule − 0 Np. 001010 Czyli mamy ciąg 6 znaków w tym dwie jedynki. Wystarczy wybrać miejsce dla tych jedynek czyli:

	6 2
#Ω =		= 15

A' − żadna szuflada nie będzie pusta Zatem jest ciąg: 01010 i mamy do wstawienia jeszcze jedno zero − 001010, 010010, 010100 − trzy możliwości #A' = 3

	3		12
P(A) = 1 − P(A') = 1 −		=
	15		15

A prawdopodobieństwo które zapisałeś jest większe od 1...

Aga1.: IΩI=3⁴ A− zdarzenie polegające na tym, że co najmniej jedna szuflada jest pusta, tzn., że jedna pusta, ale nie wiadomo która ( wtedy dwie zajęte) lub dwie puste.( jedna zajęta) Jak dwie puste, to wszystkie kule mieszczą się w jednej szufladzie, tylko nie wiadomo w której.

	3 2
Z trzech szuflad wybieram dwie i umieszczam w nich 4 kule na		*24 sposoby lub z trzech

szuflad wybieram jedną i umieszczam w niej wszystkie kule, mogę to zrobić na 3 sposoby. Ostatecznie IAI=3*2⁴+3

	IAI		3*24+3
P(A)=		=
	IΩI		34

Artur_z_miasta_Neptuna:

	3*24−3		24 − 1		15		5
Patronus −−− on zapisał pr. jako		=		=		=
	34		33		27		9

co jest złym rowiązaniem, co pokazał Patronus. w18 ewentualnie możesz rozpisać wszystkie możliwości (dużo ich nie ma bo raptem 15−−−−patrz #Ω) i policzyć.

Artur_z_miasta_Neptuna: Aga1 −−− a przepraszam bardzo −−−− ale sytuacja wrzucenia wszystkie 4 kul do jednej szulady masz już w wcześniejszym kroku (3*2⁴)

Aga1.: Przepraszam, wycofuję się. Brak treningu daje znać o sobie.

w18: A co na to ETA

w18:

Aga1.: w18, wydaje mi się , że Twoja odpowiedź jest poprawna. Moje wcześniejsze rozważania trzeba poprawić.(uwaga Artura)

	3 2
Wybieramy dwie szuflady z 3 na		=3 sposoby..

Pierwsza kula ma do wyboru dwie szuflady, druga kula dwie i 3 dwie i 4 dwie i odejmujemy od tego sytuację, gdzie wszystkie kule znajdą się w jednej szufladzie ( nie wiadomo w której)

	3 1
3(24−2) lub jedną szufladę		=3

IAI=3(2⁴−2)+3=3*2⁴−3

w18: Dziękuję Patronusowi i Aga 1 za wniesione uwagi.

Artur z miasta Neptuna: Problem w tym ze ten wynik nie jest rowny rozwiazaniu Patronusa. Wypiszmy wszyskie mozliwosci: 400 040 004 310 301 130 103 031 013 022 202 220 211 121 112 Co daje lacznie 15 mozliwosci rozlozenia z czego dokladnie 12 jest sprzyjajacych, a woec wynik patronusa jest poprawny ... co za tym idzie − wynik podany przez autora jest bledny

Aga1.: Właśnie, ja kule rozróżniałam: k₁,k₂, k₃, k₄. zadanie. Na peronie czekają na pociąg 4 osoby. Podjechał skład złożony z 7 wagonów. Na ile sposobów osoby te mogą zająć miejsca tylko w dwóch wagonach.

	7 2
odp.		(24−2)

Artur z miasta Neptuna: Aga ale rozroznianie badz nie nie moze miec wplywu na ostateczny wynik, ktory jest po prostu rozny

Mila: Problem polega na tym, jakie to są kule. Patronus i Artur założyli, że są nierozróżnialne i zgodnie z matematyką dyskretną podali rozwiązanie. x₁+x₂+x₃=4 gdzie x_i to liczby naturalne 15 rozwiązań x₁+x₂+x₃=4 gdzie x_i naturalne dodatnie 3 rozwiązania Aga podała rozwiązanie dla kul rozróżnialnych. Poprawiłabym trochę wyjaśnienie:

3 1
	*(24−2) wybór jednej (pustej) z 3 szuflad i rozłożenie 4 kul w 2 pozostałych szufladach

(odjęto sytuacje, gdy kule znalazły się w jednej szufladzie)

3 2
	−wybór dwóch szuflad pustych, kule rozłożono do pozostałej szuflady.

?

rumpek: Tak w tym zadaniu racje ma Mila oraz Aga1. Zadanie strasznie podobne do tego: "Jest 5 pudełek i 6 kul, na ile sposobów można rozmieścić wszystkie kule aby znalazły się w 3 pudełkach".

Leszek: Obojętnie czy kule są rozróżnialne (innego koloru) czy nierozróżnialne(ten sam kolor) to wynik i tak powinien być identyczny.Błędem Artura jest to że te wszystkie możliwości które On wypisał nie są zdarzeniami elementarnymi. Na przykład stan 310 może być osiągnięty na 4 sposoby: kula 1, 2, 3 do 1 szuflady a kula 4 do 2 szuflady kula 1, 2, 4 do 1 szuflady a kula 3 do 2 szuflady kula 1, 3, 4 do 1 szuflady a kula 2 do 2 szuflady kula 2, 3, 4 do 1 szuflady a kula 4 do 2 szuflady a więc moc zbioru Ω wynosi 3⁴ tak jak pisała Aga1 a nie 15 jak pisał Artur

Leszek: w ostatnim kula 1 do 2 szuflady

Mila: Rumpek, dałam dwie opcje. No to jeszcze Godzio, niech się wypowie.

Basia: |Ω| = 3⁴ wybieram tę jedną, która ma być pusta, mam 3 możliwości kule wrzucam do pozostałych dwóch czyli 2⁴ ale podwójnie policzyłam w ten sposób sytuacje gdy dwie są puste A pusta: puste mogą być AB albo AC B pusta: puste mogą być BA albo BC C pusta: puste mogą być CA albo CB (na czerwono zaznaczyłam policzone podwójnie)

	3*24 − 3
stąd: P =
	34

Basia: P.S. to jest rozwiązanie zgodne z odpowiedzią z książki jeżeli się je dobrze przemyśli widać, że założono, że kule są rozróżnialne jeżeli założymy, że są nierozróżnialne ani |Ω|≠3⁴, ani tych możliwości nie będzie 45 czyli jak zwykle zadanie nieściśle sformułowane

Leszek: Zadanie jest ściśle sformułowane nie wiem o co chodzi Wam z tą rozróżnialnością. Przecież widać z treści zadania że są 4 różne egzemplarze kul i każdą można wsadzić niezależnie od innych do 1−ej z 3−ech szuflad więc na pewno |Ω|=3⁴, nie ma innego opcji.

Basia: dla nierozróżnialnych mam możliwości: 1. A0,B0,C4 A0,B4,C0 A4,B0,C0 2. A1,B3,C0 A2,B2,C0 A3,B1,C0 3. A1,B0,C3 A2,B0,C2 A3,B0,C1 4. A0,B1,C3 A0,B2,C2 A0,B3,C1 5. A1,B1,C2 A1,B2,C1 A2,B1,C1 czyli wszystkich jest 15, a sprzyjających 12 stan 310 na trzy nie na cztery sposoby (przy nierozróżnialnych)

	12		4
P =		=
	15		5

i nie jest takie samo jak przy kulach rozróżnialnych

Gustlik: Cztery kule umieszczono w sposób losowy w 3 szufladach.Jakie jest prawdopodobieństwo,że co najmniej jedna szuflada zostanie pusta Ja top widzę tak: każdej kuli przyporządkowujemy numer szuflady, do której ma być włożona. Każda z tych kul może być więc włożona na 3 sposoby. Kula 1 − 3 sposoby, Kula 2 − 3 sposoby, Kula 3 − 3 sposoby, Kula 4 − 3 sposoby. Z reguły mnożenia: |Ω|=3*3*3*3=3⁴=81 Obliczam terazzdarzenie A₁, na ile sposobów można umieścić kule tak, żeby pusta została np. szuflada nr 3. Kula 1 − 2 sposoby, Kula 2 − 2 sposoby, Kula 3 − 2 sposoby, Kula 4 − 2 sposoby. Ale na 3 sposoby można wybrać tę pusta szufladę, więc: |A₁|=2⁴*3=16*3=48 Obliczam teraz zdarzenie A₂, że 2 szuflady są puste, czyli wszystkie kule umieszczam w jednej szufladzie. Mam 3 mozliwości, zatem |A₂|=3 |A|=|A₁|+|A₂|=48+3=51

	51		17
P(A)=		=
	81		27

Basia:

	15
i to jest żle; poprawny wynik to
	27

Leszek: "stan 310 na trzy nie na cztery sposoby (przy nierozróżnialnych)" Wymień je Basiu, bo się nie zgadzam z Tobą chyba że jestem idiotą.

Leszek: Gustlik Przy zdarzeniu A₁ musisz odjąć przypadki dla których są one w jednej szufladzie czyli |A1|=((16−2)*3=42

Basia: @Leszek sam napisałeś "4 różne egzemplarze kul" i wtedy wszystko się zgadza różne czyli rozróżnialne

Basia: @[Leszek patrz wpis z 11:55 dla nierozróżnialnych masz tam wszystko "na piechotę" wypisane

Leszek: Ale mi chodzi o to że stan 310 jest gdy w pierwszej szufladzie są 3 kule w drugiej 1 a w trzeciej 0 czyli w drugiej skoro jest 1 kula to może być to kula nr 1, 2, 3 lub 4 czyli są 4 możliwości.

Basia: czyli je rozróżniasz i wtedy wszystko się zgadza mamy taki sam wynik (patrz 09:29) mnie chodzi o to, że rozwiązujący ma prawo uznać je za nierozróżnialne i wtedy będzie tak jak wypisałam na piechotę

Basia: P.S. o ile w treści zadania nie zostało napisane "cztery różne kule" bo jeżeli napisano to słówko różne w ogóle nie ma dyskusji

Mila: Cześć Basia

Basia: Cześć Milu

Leszek: Ale przecież wiadomo że są to 4 rożne kule no bo jak ta sama kula może być czterech różnych miejscach?

Basia: nie o to chodzi; weź sobie cztery jednakowe cukierki i spróbuj je rozkładać w trzech miseczkach jest Ci wszystko jedno czy w miseczce A masz cukierek c₁ i c₂ czy c₁ i c₃ czy c₃ i c₄ itd. bo i tak nie wiesz "który jest który" a teraz weź miętusa, czekoladkę, galaretkę i landrynkę miętus i czekoladka w A to już nie to samo co miętus i galaretka w A, i nie to samo co miętus i landrynka w A itd. i przy takim podejściu będziesz miał te 3⁴ możliwości przy poprzednim (co możesz stwierdzić doświadczalnie) tylko 15

Leszek: zgadza się ale tu i tak nr (kolor lub cokolwiek innego co może je rozróżniać) kuli nie ma wpływu na to czy będzie pusta szuflada. Ma być pusta szuflada a nie które są w których. W tym twoim przykładzie z identycznymi cukierkami (zakładając że są tylko 2 cukierki takie same):jeśli pierwszy cukierek wrzucę do miski A a 2−gi do miski B to będzie to jedna z dwóch możliwości na uzyskanie tej samej konfiguracji.Druga możliwość jest taka że pierwszy cukierek wrzucam do B a pierwszy do A wiec prawdopodobieństwo uzyskania tej sytuacji jest 2 razy większe niż tego że oba cukierki będą w misce A lub oba w misce B.Zatem nie można traktować konfiguracji jako zdarzeń elementarnych bo odpowiadające im zdarzenia mają różne prawdopodobieństwo.

Basia: ale jak masz cztery jednakowe, to jak jeden wrzucisz do A, drugi do B i dwa do C to jest to jedna i tylko jedna możliwość; na tym polega rozróżnialność i nierozróżnialność możesz sobie te jednakowe cukierki przekładać z A do B i z powrotem i ciągle masz tę samą konfigurację, a nie dwie różne

Basia: a kto Ci powiedział, że zdarzenia elementarne muszą być jednakowo prawdopodobne ? rzut szulerską kością, obciążoną np. tak, że p(6) = ¹₂ a p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5) = ¹₁₀ jest najprostszym przykładem doświadczenia, w którym tak nie jest

Leszek: Basiu: Ja wiem że zdarzenia elementarne nie muszą być jednakowo prawdopodobne ale wtedy prawdopodobieństwo liczy się inaczej niż z klasycznej definicji. "jak jeden wrzucisz do A, drugi do B i dwa do C to jest to jedna i tylko jedna możliwość"− jest to jedna i ta sama konfiguracja ale otrzymana kilkoma sposobami.No bo jak najpierw wrzucisz do C potem do B potem do A i potem znowu do C to będzie tak samo jak byś najpierw wrzuciła do A potem do B i potem 2 razy pod rząd do C zatem to nie będzie zdarzenie elementarne tylko zdarzenie polegające zna uzyskaniu takiej konfiguracji.

Basia: no i dlatego do potrzeb szkolnych (i nie tylko) zakłada się, że te elementy są rozróżnialne, ale uczniowi powinno się to wyraźnie napisać, bo może pójść właśnie nie tą drogą, którą pójść powinien szczególnie w tego typu zadaniach, choćby dlatego, że "za miedzą" czyhają zadania z układaniem słów z podanych liter np: a,a,b,c i gdzie słowa a₁a₂bc i a₂a₁bc są liczone jako jedno (no bo to w końcu to samo słowo); to są niuanse, ale potrafią wyprowadzić w pole

Koral : Basia zerknij do mnie

Leszek: Ja wiem o co Ci chodzi a ta twoja nierozróżnialność do tego zadania nie pasuje więc nie opcji pomyłki chyba że ktoś nie umie myśleć.

Basia: no to patrz rozwiązanie z 9:01; a to nie jest głupia osoba

Leszek: No tak ale ta osoba myśli że losowaniu podlega liczba kul jaka ma się znaleźć w poszczególnych szufladach a w treści pisze że to kulom losujemy szuflady. Rozwiązanie Patronus byłoby poprawne gdyby treść zadania brzmiała podobnie do tej: "W trzech szufladach umieszczamy losowo wybraną liczbę kul tak by razem było ich 4.Jakie jest prawdopodobieństwo,że co najmniej jedna szuflada zostanie pusta."

Basia: A dlaczego nie można tak sformułować zadania, żeby taka myśl nikomu do głowy nie przyszła ?

Leszek: Dlaczego nie można? Ja od razu jak przeczytałem treść zadania do wiedziałem co podlega losowaniu.

Mila: Każdej kuli przyporządkowujemy numer szuflady, do której została włożona. Każde rozmieszczenie kul możemy utożsamić z funkcją określoną na zbiorze 4 kul {k₁,k₂,k₃,k₄} o wartościach w zbiorze szuflad {s₁,s₂,s₃}. Za zbiór zdarzeń elementarnych możemy przyjąć zbiór funkcji określonych na 4− elementowym zbiorze kul o wartościach w zbiorze szuflad. |Ω|=3⁴ |A|= 45 jak policzono wcześniej Wersja dla kul identycznych odsyłam do "Matematyka dyskretna" Jarosław Grytczuk str. 5 problem12. Może Patronus ma inną bardziej obszerną literaturę.

Basia: ano właśnie; nie jest wcale ta rozróżnialność taka oczywista; nie tylko dla mnie jak widać Grytczuk potwierdza

Leszek: Ja nadal nie kminie tej waszej rozróżnialności, jak dla mnie wystarczy podać co i komu/czemu jest losowane i wszytko wiadomo.

Basia: mądrość polega podobno na tym, żeby wiedzieć czego się nie wie

Basia: wróć do przykładu z cukierkami gdybyś miał (bez kombinatoryki) doświadczalnie doliczyć się tych 81 sposobów musiałbyś te cukierki jakoś od siebie odróżnić; ponumerować, kokardki im zawiązać, albo coś w tym rodzaju czyli musiałbyś je uczynić rozróżnialnymi jeżeli tego nie zrobisz doliczysz się 15 i ani jednego więcej bo nie potrafisz powiedzieć np. przy układzie ilościowym (1,1,2), który cukierek już był w miseczce A, a który nie poza tym jak chcesz wiedzieć więcej poczytaj literaturę, choćby przywołanego Grytczuka bo to jest jednak dość obszerne zagadnienie

Leszek: Ja nie muszę nic czytać bo i tak już dawno mam maturę. Jeśli będę każdej miseczce losował liczbę cukierków jakie powinny się tam znaleźć to faktycznie wyjdzie mi 15 możliwości ale jeśli każdemu cukierkowi będę losował miseczkę to mi wyjdzie 81. Zależy co jest losowane.

Basia: Grytczuk i matematyka dyskretna nieco wykraczają poza poziom nawet tej dawnej szkoły średniej i na tym nieco wyższym poziomie powstają wątpliwości