Kąty w trójkącie Mat: Znaleźć kąt między wysokością a środkową trójkąta, poprowadzonymi z wierzchołka B, znając kąty: α, β i γ trójkąta.

AS: Proponuję takie rozwiązanie problemu,innego sposobu nie widzę Przyjąłem kąty: α = 6o^o 37' , β = 78^o 35' , γ = 40^o48' BD − wysokość , BE − środkowa Przyjmuję bok a = 8 i dobieram boki b i c tak by tworzyły trójkąt o podanych kątach

	a*sin(β)		a*sin(γ)
b =		= 9 , c =		= 6
	sin(α)		sin(α)

Uzyskałem trójkąt o bokach a = 8 , b = 9 , c = 6 Kąt m = 90^o − α = 29^o 23' Z tw. cosinusów s² = c² + (b/2)² − 2*c*(b/2)*cos(α) s² = 6² + (9/2)² − 6*9*cos(α) = 29.75488 => s = 5.9548 Obliczam kąt ABE = n z tw.sinusów

(b/2)		s		b*sin(α)
	=		=> sin(n) =		= 0.5519
sin(n)		sin(α)		2*s

n = 33.4955^o = 33^o 29.73' ≈ 33^o 30' Szukany kąt x = n − m = 33^o 30' − 29^o 23' = 4^o 07' Odp. Szukany kąt 4^o 07'

Eta:

Eta:

	h
cosδ=
	s

	1
długość środkowej s=		√2a2+2c2−b2 ( stosuję gotowy wzór)
	2

	a		b		c
z tw. sinusów dla ΔABC :		=		=
	sinα		sinβ		sinγ

	b*sinγ		b*sinα
wynika że : c=		i a=
	sinβ		sinβ

	b*h		c*a
Ze wzoru na pole ΔABC :		=		*sinβ
	2		2

po podstawieniach za " c" i za "a"

	b*sinγ*sinα
mamy: h=
	sinβ

oraz :

	b
s=		√2sin2α+2sin2γ−sin2β
	2sinβ

	h		2sinγ*siα
zatem: cosδ=		=
	s		√2sin2α+2sin2γ−sin2β

dla AS

AS: brawo dla Ety.

AS: Do Ety. Sprawdziłem Twoje rozwiązanie dla moich danych i wychodzi duża różnica − 16^o 35' (u mnie 4^o 07') Dzisiaj nie chce mi sie sprawdzać , aczkolwiek Twój sposób bardzo oryginalny,świadczy o klasie rozwiązującego.

Mat: Dziękuję za odpowiedź.

Mila: Mat, czy może masz odpowiedź do tego zadania, albo jakąś jeszcze informację o kącie β?

pigor: ... no to ja teraz idę spać, a ... "jutro" podam swój sposób i wychodzi mi kąt ≈ 16^o.

Mat: Niestety nie mam odpowiedzi do tego zadania, oraz żadnej dodatkowej informacji na temat β.

pigor: ... a więc , niech dla skrócenia zapisu |∡CBE|=n , to z przyjętych oznaczeń na rys. AS−a, warunków zadania, wzorków sin(90−α)=cosα , cos (α±b)=... , sin(α−b)=... mamy kolejno np. : z tw. sinusów do ΔAEB i ΔCEB o wspólnym boku BE=s i równych bokach AE=EC :

AE		BE		CE		BE
	=		i		=		⇔
sin(m)		sinα		sin(n)		sinγ

	AE		s		AE		s
⇔		=		i		=		⇔
	sin(90o−α+x)		sinα		sin(90o−γ−x)		sinγ

	AE		s		AE		s
⇔		=		i		=		i dzieląc stronami ⇒
	cos(α−x)		sinα		cos(γ+x)		sinγ

	cos(α−x)		sinα
⇒		=		⇔
	cos(γ+x)		sinγ

	cosαcosx+sinαsinx		sinα
⇔		=		⇔
	cosγcosx−sinγsinx		sinγ

	cosx (cosα+sinα tgx)		sinα
⇔		=		⇔
	cosx (cosγ−sinγ tgx)		sinγ

	cosα+sinα tgx		sinα
⇔		=		⇔
	cosγ−sinγ tgx		sinγ

⇔ sinγcosα+sinγsinα tgx = sinαcosγ−sinαsinγ tgx ⇔ ⇔ 2sinγsinα tgx = sinαcosγ−sinγcosα ⇔ 2sinαsinγ tgx = sin(α−γ) ⇔

	sin(α−γ)
⇔ tgx =		. ....
	2sinαsinγ

AS: Korekta do moich obliczeń − pomyłka w obliczeniach s = 5.4548 sin(n) = 0.718835 => n = 45^o 51' x = 45^o 51' − 29^o 23' = 16^o 28' Odp. szukany kąt 16^o 28' zgodny z obliczeniami podanymi przez Eta.

AS: Dopisek Dla trójkąta równobocznego szukany kąt będzie równy 0^o Podobnie dla trójkąta równoramiennego o bokach równych AB = BC kąt też będzie równy 0^o.

Bogdan: Proponuję takie rozwiązanie: sinβ = sin[180^o − (α + γ)] = sin(α + γ) = sinα*cosγ + sinγ*cosα

	h*cosα
d = h*ctgα =		,
	sinα

	h		h
2c =		, 2a =
	sinα		sinγ

	1		1
Pole trójkąta P =		*2b*h = bh i P =		*2c*2a*sinβ
	2		2

	1		h		h		hsinβ
Stąd: bh =		*		*		*sinβ ⇒ b =
	2		sinα		sinγ		2sinαsinγ

	hsinβ		h*cosα		h(sinβ − 2sinγcosα)
b − d =		−		=		=
	2sinαsinγ		sinα		2sinαsinγ

	h(sinαcosγ + sinγcosα − 2sinγcosα)		hsin(α − γ)
=		=
	2sinαcosγ		2sinαsinγ

	b − d		sin(α − γ)
tgδ =		=
	h		2sinαsinγ

pigor: ... no i jak widać warto myśleć i jedno zadanie "robić" na kilka sposobów , aby zdobyć doświadczenie przez wyciąganie wniosków, co warto, a co nie i nie zatrzymywać się na jednym wyuczonym schemacie , bo że to niby dzięki niemu "wszyscy" zdadzą , a dlaczego , przecież nie muszą wszyscy zdać i tyle .

Eta: