Funkcje ciągłe Janek: Ostatnio przerabiając materiały z Krysickiego zainteresowałem się troszkę ciągłością funkcji. Zauważyłem też, że jeśli funkcja jest różnowartościowa i ciągła to jest również monotoniczna. Czy jest to prawda?

Basia: nieprawda niestety najprostszy przykład f(x) = x² jest różniczkowalna w każdym punkcie x∊R jest ciągła monotoniczna nie jest (najpierw maleje, potem rośnie) prawdą natomiast jest, że każda funkcja różniczkowalna jest ciągła

Patronus: x² nie jest różnowartościowa...

Basia: no i masz jednak mi się w oczach mieni, przeczytałam różniczkowalna (zresztą w przykładzie też napisałam o różniczkowalności) oczywiście jeżeli funkcja jest różnowartościowa i ciągła to jest monotoniczna

Janek: A jest na to jakiś formalny dowód ? I drugie pytanie − czy każda funkcja różnowartościowa jest różniczkowalna ?

Basia: dowód jest oczywiście; dość prosty przypuśćmy, że f(x) jest ciągła i nie jest monotoniczna ⇒ istnieje jakieś x₀ takie, że w jakimś jego otoczeniu <x₀−ε; x₀+ε> f(x) najpierw rośnie a potem maleje (lub na odwrót, ale to tak się dowodziεε samo) ⇒ f(x₀−ε) < f(x₀) i f(x₀+ε) < f(x₀) C = max[ f(x₀−ε); f(x₀+ε) ] wtedy z ciągłości wynika, że: musi istnieć x₁∊<x₀−ε;x₀) takie, że f(x₁) = C i musi istnieć x₂∊(x₀;x₀+ε) takie, że f(x₂) = C czyli mamy x₁≠x₂ i f(x₁)=f(x₂) czyli funkcja nie jest różnowartościowa (i to co między −−−−−−−− możesz sobie podarować) i na tym można skończyć, bo intuicja jest chyba dość oczywista −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− natomiast z punktu widzenia logiki formalnej mamy: zostało udowodnione twierdzenie (f jest ciągła i nie jest monotoniczna) ⇒ (nie jest różnowartościowa) prawdziwa jest zatem także jego kontrapozycja czyli twierdzenie ~(f.nie jest różnowartościowa) ⇒ ~(f jest ciągła i nie jest monotoniczna) czyli f jest różnowartościowa ⇒f.nie jest ciągła lub f.jest monotoniczna skoro więc jest różnowartościowa i ciągła mamy 1 ⇒ 0 ∨f.jest monotoniczna aby to było prawdą musi być prawdą to, że f.jest monotoniczna −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Basia: ad.2 oczywiście nie x−5 dla x<0 f(x) = x+5 dla x≥0 jest różnowartościowa (bo x−5 ≠ x+5 dla żadnego x) ale w p−cie x₀=0 nie jest ciągła nie jest więc również różniczkowalna