. Dedi: znajdź pierwiastki wielomianu 2x³ −14x²+14x+30

Dedi:

Basia: na pewno dobrze przepisałeś ? bo dość paskudne to będzie

Dedi: raczej dobrze przepisałem

Basia: jeżeli to ma być rozwiązane szkolnymi metodami to chyba nie ma wyjścia; trzeba poszukać jakiegoś pierwiastka wymiernego to mogą być: ±1; ±2; ±3; ±5; ±6;±10;±15;±30;±¹₂;±³₂; ±⁵₂;±¹⁵₂ powinien istnieć; z rachunku pochodnych mi wyszło, że ten wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste i że musi mieć jakiś pierwiastek w przedziale (4¹₃; 5); musi to być pierwiastek niewymierny ⇒ musi być drugi niewymierny i trzeci wymierny ale liczenie paskudne jak znajdziesz daj znać

Basia: P.S. nie jestem pewna czy się nie pomyliłam z tym przedziałem ale i tak trzeba szukać pierwiastka wymiernego

Dedi: ok

pigor: ... Basiu nie wierzę, że nie widzisz tego co ja widzę , np. : 2x³−14x²+14x+30= 2(x³−7x²+7x+15)=2 (x³+1−7x²+7+7x+7) = = 2 [(x+1)(x²−x+1)−7(x−1)(x+1)+7(x+1)] = 2 (x+1) (x²−x+1−7x+7+7) = = 2 (x+1) (x²−8x+15) = 2(x+1)(x−3)(x−5) , czyli x∊{−1,3,5} . ...

Dedi: hmm

Eta: A ja widzę tak 2x³+2x²−16x²−16x+30x+30=2x²(x+1)−16x(x+1)+30(x+1)=(x+1)*2(x²−8x+15) 2(x+1)(x−3)(x−5)=0 , czyli x= { −1, 3,5}

Bogdan: Myślę, że nie ma co tu kombinować z dopasowywaniem składników do rozkładu wielomianu na czynniki. Jest przecież gotowe na takie przypadki narzędzie, pokazała je Basia. Wstawiając do wielomianu kolejno liczby: 1, −1, ..., już w drugim kroku wpadniemy na pierwiastek tego wielomianu: x₁ = −1, potem wykonując dzielenie wielomianu przez (x + 1) sposobem tradycyjnym lub tzw. schematem Hornera dostajemy wielomian drugiego stopnia, który łatwo się rozkłada. Metoda tradycyjna dzielenia wielomianów też jest schematem, nie ma tylko w nazwie słowa "schemat", każdy z tych sposobów dzielenia przyzwoity uczeń powinien znać, bez względu na obowiązujący program nauczania.

Eta: Chyba,że ktoś lubi "kombinować"

Mila: W(1)=2−14+14+30=32 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu. w(−1)=−2−14−14+30 =0 1 jest pierwiastkiem wielomianu. dzielenie tradycyjne. 2x² − 16x + 30 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (2x³ −14x²+14x+30):(x+1)= 2x³+2x² −−−−−−−−−−−−−−−−−− −16x²+14x −16x² − 16x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 30x+30 30x+30 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = = 2x² − 16x + 30=0 Δ=4 x₁=3 lub x₂=5 odp.{−1, 3,5} zbiór rozwiazań. Na ogół nie uczą dzielenia tym sposobem, tylko "Hornerem"

Mila: Δ liczyłam dla równania x²−8x+15=0

Gustlik: Basiu nie jest takie trudne. I tutaj tak właśnie krytykowany przez Ciebie Horner jest przydatny: 2 −14 14 30 1 2 −12 2 32 −1 2 −16 30 0 x=−1 jest pierwiastkiem, zatem (x+1)(2x²−16x+30)=0, dalej delta i ew. x₁ i x₂, o ile istnieją. I PO ZADANIU I co? Ten przykład wyraźnie obala Twoją tezę, że kombinacyjne metody z podpasowywaniem wspołczynników sa lepsze. A NA MATURZE CZAS LECI... I LECĄ PUNKTY, OCZYWIŚCIE W DÓŁ, JAK SIĘ KOMBINUJE NAOKOŁO.

Basia: źle sobie na kartkę przepisałam i za nic nie mogłam znaleźć pierwszego pierwiastka wymiernego; jakbym go znalazła to bez dzielenia,bez Hornera ale i bez dopasowywania współczynników sobie wielomian rozłożę i trwa to 5 razy krócej

Gustlik: No nie wiem, czy 5 razy krócej, bo mi takie kombinowanie dłużej zajmuje czasu, a uczniom to już w ogóle...

Basia: mnożyć i dodawać chyba każdy jednak umie (no powinien) 2x³ −14x²+14x+30 = 2(x³−7x²+7x+15) = 2(x+1)(x²−8x+15) to trwa dwie sekundy i jest tylko i tylko kwestią wprawy

Basia: wszystkim przekonanym, że schemat Hornera rozwiązuje wszystkie problemy związane z wielomianami dedykuję dwa zupełnie banalne zadanka (zdaje się, że są w każdym podręczniku z rozszerzeniem) 1. podziel W(x) = x⁴+1 przez P(x) = x²+1 2. rozłóż W(x) = x⁴+1 na czynniki

Gustlik: Hornerem można dzielić przez dwumian (x−p), przez inne ciężko. Ja widziałem wprawdzie schemat Hornera dla dzielenia przez trójmian kwadratowy, ale to już trudniejsze do zapamiętania. x⁴+1=x⁴+2x²+1−2x²=(x²+1)²−2x²=(x²+1−√2x)(x²+1+√2x)= =(x²−√2x+1)(x²+√2x+1)

Gustlik: No właśnie, Basiu − kwestią wprawy, a wielu uczniów nie widzi, jak porozbijać liczby, żeby coś z tego wyszło. Trzeba kombinować przez co pomnożyć (x+1), żeby otrzymać stary wielomian.Owszem, warto znać dla samego siebie tę metodę, ale NA MATURZE NIE MA NA TO CZASU !

Basia: no i pokłoniło się tradycyjne dzielenie i tradycyjne dobieranie współczynników

Gustlik: Można podzielić tradycyjnie, nie zaszkodzi to znać i ja tę metodę ćwiczę. Tylko Hornerem jest szybciej i mniejsze ryzyko pomyłki. Cały czas powtarzam − na maturze trzeba robić łatwymi, szybkimi i bezpiecznymi metodami, żeby nie stracić niepotrzebnie punktów, których czasami może zabraknąć do zdania matury.