równanie blantant: Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie" (x² − 1)³ − 3(x² − 1)² +1 = 0?

Mila: 6. Zobacz wolfram.

b.: podstaw t=x²−1

Basia: jeżeli to szkoła to to niewiele da, bo równanie t³ − 3t² + 1 = 0 nie ma pierwiastków wymiernych (jeżeli to szkoła, to chyba coś źle przepisałeś) no a jeżeli studia to oczywiście to podstawienie i wzory (metody) Cardano

pigor: ... wydaje mi się, że może tak : tu dziedzina równania D=R i jeśli f(x)=(x²−1)³−3(x²−1)²+1 − wielomian 6−tego stopnia, to pochodna f '(x)=3(x²−1)²*2x−6(x²−1)*2x i f '(x)=0 ⇔ x(x²−1)²−2(x²−1)x=0 ⇔ ⇔ x(x²−1) (x²−1−2)=0 x(x−1)(x+1)(x−√3)(x+√3)=0 ⇔ [n[x∊{0.−1,1,−√3,√3}] i ponadto f '(x)>0 ⇔ x(x−1)(x+1)(x−√3)(x+√3)>0 ⇔ x∊(−√3;−1) ∨ x∊(0;1) ∨ x∊(√3;+∞), zaś f '(x)<0 ⇔ x(x−1)(x+1)(x−√3)(x+√3)<0 ⇔ x∊(−∞;−√3) ∨ x∊(−1;0) ∨ (1;√3) , zatem f jest monotoniczna w tych przedziałach , a jej wykres przecina oś Ox w 5−ciu punkach , czyli dane równanie ma 5 pierwiastków rzeczywistych . ...

Basia: można, ale końcowy wniosek jest błędny te 5 miejsc zerowych pochodnej to 5 punktów ekstemalnych, a nie miejsc zerowych f(x) przy tym sposobie trzeba jeszcze policzyć wartości tych ekstremów i dopiero z tego i przybliżonego szkicu wykresu wyjdzie liczba miejsc zerowych np. f(−√3) = 2³ − 3*2²+1 = 8 − 12+1 = −3 czyli w przedziale (−∞; −√3) musi być jedno m.zerowe f(−1) = 1 czyli w przedziale (−√3;−1) musi być drugie m.zerowe itd. powinno wyjść sześć (wolfram), ale trzeba sprawdzać, bo przecież od jednego do drugiego ekstremum nie musimy przechodzić przez zero (tu akurat tak jest, ale ogólnie nie musi) milcząco korzystamy z tw.o funkcji ciągłej na <a;b> i wartościach pośrednich

Basia: ale sam pomysł świetny; gratuluję pigor

pigor: ...zauważyłem ten mój niefortunny wniosek, ale mnie uprzedziłaś

Mila: A wszystko dlatego, że nie czytasz co piszę.(Czasem się mylę).