całka Sim0n: jak rozwiazac calke? :

	1
∫		dx
	1+x4

Trivial: W jakichś konkretnych granicach?

Artur z miasta Neptuna: na pewno taka całka ? a nie przypadkiem: https://matematykaszkolna.pl/forum/151386.html

Trivial: Da się ją rozwiązać, tyle że jest trochę żmudna

Artur z miasta Neptuna: da się da ... Trivial ... i właśnie ze względu na 'żmudność' obliczeń sądzę, że autor się po prostu pomylił w pisaniu (w dzisiejszych czasach raczej nie dają 'im' 'aż takie' całki)

Trivial: Nam dawali.

Artur z miasta Neptuna: Trivial −−− inne pokolenie koleżanka mi się ostatnio żaliła, że na 4 roku (mgr ... PG ... matematyka) ma studenta co nie wiedział co to jest logarytm ... i co gorsza ... nie może go oblać (wytyczne 'z góry')

Trivial: Artur, obawiam się że pokolenie zbliżone. Jestem rocznik 91.

Sim0n: na egzaminie mielismy taka calke w granicach −2 i 2

pigor: ... zacznę np. tak :

	dx		dx		dx
∫		= ∫		= ∫		=
	1+x4		1+2x2+x4−2x2		(1−x2)2−(√2x)2

	dx		dx
= ∫		=∫		=
	(1−x2−√2x)(1−x2+√2x)		(x2+√2x−1)(x2−√2x−1)

i teraz pobaw się rozkładając na 2 ułamki, albo dalej rozkładaj na nieciekawe czynniki liniowe trójmiany kwadratowe w mianowniku ...

Trivial: No nic. Trzeba rozłożyć na ułamki proste.

1		1		1
	=		=
1+x4		(x2+1)2 − 2x2		(x2−√2x+1)(x2+√2x+1)

Przyda się:

	dx		dx		dx
∫		= ∫		= ∫		=
	x2±√2x+1		√2   1   (x± )2 + 1−   2   2		√2   1   (x± )2+   2   2

	dx		d(√2x±1)
= 2∫		= √2∫		= √2arctan(√2x±1) + c.
	(√2x±1)2+1		(√2x±1)2+1

Zatem rozkładamy:

1		A(2x−√2) + B		C(2x+√2) + D
	=		+
1+x4		x2−√2x+1		x2+√2x+1

1 = (A(2x−√2) + B)(x²+√2x+1) + (C(2x+√2) + D)(x²−√2x+1) x³: 0 = 2A + 2C → A = −C x²: 0 = 2√2A − √2A + B − 2√2C + √2C + D x¹: 0 = 2A + √2B + 2C − √2D → B = D. x⁰: 1 = −√2A + B + √2C + D ... x²: 0 = 2√2A + 2B x⁰: 1 = −2√2A + 2B

	1
B =		.
	4

	B		√2
A = −		= −		.
	√2		8

	√2
C =
	8

	1
D =		.
	4

Czyli

	1		√2		√2
∫		dx = −		ln|x2−√2x+1| +		ln|x2+√2x+1| +
	1+x4		8		8

	√2		√2
+		arctan(√2x+1) +		arctan(√2x−1) + c =
	4		4

	√2		x2+√2x+1
=		(ln|		| + 2arctan(√2x+1) + 2arctan(√2x−1)) + c.
	8		x2−√2x+1

Trivial: Podstaw sobie granice...

Sim0n: wielkie dzieki, widze kawal dobrej, zmudnej roboty