jak obliczyć taką całkę? Paula: Wie ktoś jak to obliczyć? ∫√x−x²

Dereck: Wyciągnij x przed nawias, rozbij na dwa pierwiastki, a później to już chyba wzory elementarne.

Trivial: Taka wskazówka:

	1		1
x − x2 =		(4x − 4x2) =		(1 − (2x−1)2).
	4		4

Paula: na zajęciach wyszedł z tego wynik ^1−2x_2√x−x² możliwe to? mnie wychodzi całkiem co innego : )

Trivial: Można to obliczyć np. tak...

	1		sinu = 2x−1 cosudu = 2dx
J = ∫√x−x2dx =		∫√1−(2x−1)2dx =		=
	2

	1		cosudu		1
		∫√1−sin2u		=		∫|cosu|*cosu du
	2		2		4

	π		π
Dla u z przedziału [−		,		], cosu ≥ 0, a zatem:
	2		2

	1		1		1+cos2u		1		sin2u
J =		∫cos2u du =		∫		du =		(u +		) + c.
	4		4		2		8		2

Teraz, trzeba wrócić do x. Z naszego podstawienia sinu = 2x−1 wyliczamy: u = arcsin(2x−1). Wiemy także, że sinucosudu = (2x−1)*2dx

sin2u		2		2
	= (2x−1)*		= (2x−1)		= (2x−1)√1−(2x−1)2.
2		du   dx		2   √1 − (2x−1)2

	1
Zatem J =		(arcsin(2x−1) + (2x−1)√1−(2x−1)2) + c.
	8

Mila: Policzyłam pochodną i zgadza się z funkcją podcałkową. Możesz otrzymać inny wynik, to zależy jakie podstawienie. Metodą Triviala wychodzi inny wynik. Napisz jakie było podstawienie na zajęciach.

Basia: to nie jest wynik zapewne liczyliście przez części

	1		1−2x
f = √x−x2 f'=		*(1−2x) =
	2√x−x2		2√x−x2

g' = 1 g = x

	x(1−2x)
J = x√x−x2 − ∫		dx
	2√x−x2

teraz zastosuj wskazówkę Triviala x−x² = ¹₄[ 1 − (1−2x)² ] i zrób podstawienie t = 1−2x

Trivial: Oj chyba nie wychodzi... http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28%281-2x%29%2F%282sqrt%28x-x^2%29%29%29

Paula: ok, znalazłam mój błąd w myśleniu : ) dziękuję wszystkim!

Basia: Trivial to do mnie, czy do Mili ? bo wg mnie jest jak wyżej i to co Paula podała wynikiem być nie może pochodna z tego jest zupełnie inna

Mila: Postać kanoniczna:

	1		1		1		1
x−x2=−(x2−x)=−((x−		)2−		)=		−(x−		)2
	2		4		4		2

	1		1
podstawienie: x−		=		t
	2		2

	1
dx=		dt
	2

1		1
	∫√(0,25−0,25t2)dt=		∫√1−t2dt= korzystam z wzoru
2		4

	1		1		1
=		(		arcsint+		t√1−t2) dokończ
	4		2		2

Mila: Basiu, nie chce mi się liczyc ponownie, bo gorąco, ale mogłam się pomylic.

Trivial: Basiu, to było do Mili. Policzyłem pochodną na wolframie i wyszło coś innego niż √x−x².

Mila: Policzyłam, macie rację −Basia, Trivial.

Mila: Pozdrowienia

Trivial:

Basia: