marcin: no to jeszcze to wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji f(x,y)=(y−x²)e^−y

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Funkcje_okre.C5.9Blone_na_podzbiorach_p.C5.82aszczyzny

marcin: f'(x)=−2x f'(y)=1*... (e^x to e^x , a e^−x to ?)

Krzysiek: f'_x =e^−y (−2x) f'_y =e^−y +(y−x²)(−e^−y) (e^g(x))' =e^g(x) *g'(x)

marcin: aha i teraz drugą licze czy przyrównuje do zera?

Krzysiek: to pochodne (I rzędu )przyrównujesz do zera, potem liczysz pochodne drugiego rzędu w tych punktach (tzn w punktach rozwiązania tego układu równań )

marcin: 1. e^−y(−2x)=0 −2x=e^−y |:−2

	e−y
x=
	−2

2. e^−y(y−x²)(−e^−y)=0 ...

marcin: mógłbyś mi to dokończyć Krzysiek

Krzysiek: e^−y(−2x)=0 ⇒x=0 (ponieważ e^−y nie przyjmuje wartości zero) e^−y (1−y+x² )=0 czyli: 1−y+x² =0 x=0 więc y=1 więc teraz drugie pochodne liczysz w punkcie (0,1)

marcin: f''(x)=e^−y(−2x−2) f''(y)=?

Basia: f(x,y) = (y−x²)e^−y = y*e^−y − x²*e^−y f'_x = −2x*e^−y f'_y = 1*e^−y + y*e^−y*(−1) − x²*e^−y*(−1) = e^−y − y*e^−y + x²*e^−y = e^−y(1−y+x²) f"_xx = −2e^−y f"_xy = −2x*e^−y*(−1) = 2x*e^−y f"_yx = 2x*e^−y f"_yy = −e^−y − [ 1*e^−y + y*e^−y*(−1) ] + [ x²*e^−y*(−1} ] = −e^−y − e^−y + y*e^−y − x²*e^−y = −e^−y*(2−y+x²) sprawdź !

Artur_z_miasta_Neptuna: f"(x) mi się 'nie podoba'

Artur_z_miasta_Neptuna: to było oczywiście do Marcina hej Basiu

Basia: witaj Arturze

marcin: teraz podstawiam za x=0 a za y=1 ? −2x*e^−y>0

Artur_z_miasta_Neptuna: a czemu fo f'_x podstawiasz punkt (0,1) jak wygląda procedura przypomnij sobie

marcin: coś takiego |−2e^−y 2x*e^−y | A= |2x*e^−y −e^−y(2−y+x²) |=?

Artur_z_miasta_Neptuna: i tutaj podstawiasz punkt (0,1) i sprawdzasz jakiego znaku będzie wyznacznik if>0 wtedy masz ekstremum i jeżeli f''_x <0 to masz max jeżeli f''_x>0 to masz min

Artur_z_miasta_Neptuna: pamiętaj −−− wartość wyznacznika nie jest ważna ... istotny jest tylko znak (>0 czy nie)

marcin: e odrzucam bo to stała ? −2 0 0 1 = −2

marcin: i jak dobrze ?

Artur z miasta Neptuna: −(2−1+0) = −1

Artur z miasta Neptuna: wyznacznik >0 (czyli istnieje ekstremum)

marcin: ? ( − ) jest większy od zera a jakie ekstremum (ile wynosi)?

Basia: źle masz policzone elementy wyznacznika, a konkretnie a₂₂ tam jest −(2−1+0) = .... najpierw to popraw (tego dotyczy wpis Artura) dopiero potem licz wyznacznik

marcin: −2 0 0 −1 = 2 wyznacznik większy od 0

Artur z miasta Neptuna: więc istnieje ekstremum i co dalej (patrz wpis 17:19)

marcin: sprawdzamy pochodną fx ale którą dokładnie

marcin: drugą pochodną

marcin: fxx=−2*e^−y f''=0*e^−y+(−2)*e^−y=?

marcin: pomoże ktoś

Basia: f"_xx(x,y) = −2e^−y za y podstawisz 1 (iksa tu nie ma)

	−2
f"xx(0,1) = −2*e−1 =		< 0 ⇒ w p−cie P(0,1) mamy maksimum lokalne
	e

f(x,y)=(y−x²)e^−y

	1
fmax = f(0,1) = (1−02)e−1 = e−1 =
	e