Wyznacz postać jawną ciągu Laran: Wyznacz postać jawną ciągu, gdzie s₀ = 1, s₁ = −1, s_n+1 = 5s_n − 6s_n−1 dla n ≥2.

Krzysiek: s_n+1−5s_n +6s_n−1 szukamy rozwiązania postaci: s_n =rⁿ równanie charakterystyczne: r² −5r+6=0 czyli r₁ =2 r₂ =3 zatem: s_n =c₁ 2ⁿ +c₂ 3ⁿ s₀ =1 ⇒1=c₁ +c₂ s₁ =−1 ⇒−1 =c₁ 2 +c₂ 3 zatem: c₁ =4 c₂ =−3 więc: s_n =4*2ⁿ −3*3ⁿ =2ⁿ⁺² −3ⁿ⁺¹

Piotr: Heja, Rozumiem, jak to napisales, ale nie rozumiem skad masz to r i c, dlaczego zalozyles, ze numer wyrazu ciagu do potegi zmiennej r?

Krzysiek: w pierwszej linijce brakuje " =0" taka jest metoda rozwiązywania równań jednorodnych, że szukamy rozwiązania postaci rⁿ (analogia do równań różniczkowych) wstawiając do równania: rⁿ⁺¹ −5rⁿ +6rⁿ⁻¹ =0 dzielę obustronnie przez rⁿ⁻¹ (można ponieważ jest to funkcja wykładnicza >0 ) i otrzymujemy równanie kwadratowe. rozwiązanie jest postaci: s_n =c₁ r₁ ⁿ +c₂ r₂ ⁿ (gdzie r₁ ,r₂ to pierwiastki równ. kwadratowego) 'c' pojawia się dlatego bo jest to zbiór rozwiązań, równania rekurencyjnego, w zależności od warunków początkowych wyznaczmy 'c'