zadanko Trivial: Zadanko dla chętnych.

	1		(2n)!
Pokaż, że ∫−∞+∞		dx =		π.
	(x2+1)n+1		4n(n!)2

Trivial: nikt? :<

.: nikt.

Bartek : Spoko, spoko...ja na razie siedzę po uszy w liczbach zespolonych, ale tylko czekam na całki. Jak przyjdzie czas na całki, to nie takich rzeczy będę próbował

Godzio: Funkcja jest parzysta więc musimy obliczyć:

	1
2∫0∞		dx
	(x2 + 1)n + 1

Obliczmy najpierw:

	1		π
∫0∞		dx =
	x2 + a		2√a

Ponieważ całka jest jednostajnie zbieżna dla a > 0 to możemy różniczkować po parametrze a:

d		∂f
	∫f(x,a)dx = ∫		f(x,a)dx, wtedy po (n + 1) różniczkowaniu:
da		∂a

	n! * (−1)n
L = ∫0∞
	(x2 + a)n + 1

	π		1 * 3 * ... * (2n − 1)! * (−1)n		1		1
P =		*		*		*
	2		2n		an		√a

Dzielimy obustronnie przez (−1)ⁿ * n! oraz podstawiamy a = 1 i otrzymujemy:

	1		π		1 * 3 * ... * (2n − 1)
∫0∞		=		*
	(x2 + 1)n + 1		2		n!*2n

	π		1 * 2 * ... * (2n)
=		*		} =
	2		n! * 2 * 4 * ... * (2n) * 2n

	π		(2n)!
=		*
	2		(n!)2 * 22n

Całka docelowa:

	1		(2n)!
2∫0∞		dx =		π
	(x2 + 1)n + 1		(n!)2 * 4n

Dobre zadanie, na dobry początek dnia

Trivial: Brawo Godziu. Ja mam inne rozwiązanie.

Trivial: i chyba powinno być 'po n różniczkowaniu'

Godzio: Rzeczywiście

Godzio: Zobaczyłem, że jesteś, jestem bardzo ciekaw innego rozwiązania

b.: > Bartek : Spoko, spoko...ja na razie siedzę po uszy w liczbach zespolonych To całkiem dobrze się składa... całkujemy funkcję f(x)=(x²+1)⁻ⁿ⁻¹ po konturze złożonym z odcnika [−R, R] oraz półokręgu leżącego w górnej półpłaszczyźnie. Z tw. Cauchy'ego całka ta wynosi 2πi * Res(f; i), z drugiej strony zaś przechodząc z R do ∞ dostajemy szukaną całkę (całka po półokręgu dąży do 0) no to liczymy, mamy w tym przypadku

	1
Res(f; i) =		[ f(x)*(x−i)n+1 ](n)(i)
	n!

gdzie (n) oznacza n−tą pochodną, zatem

	1
Res(f; i) =		[ (x+i)−n−1 ](n)(i) =
	n!

	1		(2n)!
		* (−n−1)(−n−2)...(−n−n) (i+i)−2n−1 =		/ (2i)
	n!		(n!)2 4n

co daje wynik słowa kluczowe dla niezorientowanych: funkcje holomorficzne, tw. Cauchy'ego o residuach

Trivial: Rozwiązałem sposobem b.

Godzio: Kosmosy

b.: za jakiś rok taka metoda i Tobie, Godziu, będzie się narzucała

Godzio: Hehe, mam nadzieję