topologia, ciągłość metryki
luk20: Topologia
!
Czy ktoś umie odpowiedzieć na to pytanie (Prawda czy Fałsz)
Ciągłość metryki d w przestrzeni metrycznej <X,0> oraz ciągi {x
n}
n∊ℕ, {y
n}
n∊ℕ i
x
0,y
0⊂X to spełniony jest warunek:
a){x
n}−−−>x
0 i {y
n}−−−>y
0 to d(x
n,y
n)−−−−>0
b){x
n}−−−>x
0 i {y
n}−−−>y
0 to d(x
n,y
n)−−−−>d(x
0,y
0) to jest chyba Prawda a reszta?
c){x
n}−−−>x
0 i {y
n}−−−>y
0 to d(x
n,x
0)−−−−>d(y
n,y
0)
23 cze 22:47
Basia:
(a) jest oczywiście nieprawdziwe
metryką w zbiorze R może być np. wartość bezwzględna
d(x,y) = |x−y|
xn = 2+1n → 2
yn = 1+1n → 1
d(xn,yn) = |2+1n−1−1n| = |1| = 1
(c) też nie jest prawdą
rozważ metrykę dyskretną i ciągi
xn = 3+1n
yn = 2 (stały)
metryka dyskretna nie spełnia również warunku (b)
weź ciągi
xn = 2+1n
yn = 2−1n
24 cze 00:15
luk20: czyli z tego co jest w zadaniu wynika, że b) też jest nieprawdą? a jeśli byłaby przestrzeń
<X,d> bez jasno podanej metryki to wtedy b zachodzi?
24 cze 00:24
Basia:
no nie; skoro nie określono metryki, to żeby powiedzieć, że zdanie jest prawdziwe musiałoby być
prawdziwe dla każdej metryki, a dla metryki dyskretnej prawdziwe nie jest czyli:
nie jest prawdą, że dla każdych <X,d> warunek (b) jest spełniony
ergo zdanie (b) jest fałszywe
24 cze 00:41
luk20: A takie zdanie:
Jeśli {xn}−d−>x0 i {yn}−d−>y0, to d(xn,yn)−d−>d(x0,y0) jest prawdziwe? (n−>∞, a
nie mam podanej d)
24 cze 00:47
Basia:
o co oznacza ten symbol {xn}−d ?
24 cze 00:51
luk20: ciąg xn w metryce d przy n dążących do ∞ jest zbieżny do x0, tak to dokładnie powinno
brzmieć, nie wiedziałem jak mam jeszcze to n tam dopisać
24 cze 00:52
Basia:
nie bardzo rozumiem czym ten zapis ma się różnić od tego z podpunktu (b)
jak należy rozumieć sformułowanie "ciąg xn w metryce d dąży ......"
24 cze 01:02
Basia:
chyba tak, że d(xn,x0) → 0 i d(yn, y0) → 0
ale wolałabym żebyś to wyjaśnił
24 cze 01:05
luk20: No sęk w tym, że tak mam sformułowane twierdzenie o ciągłości metryki, tak jak to b czy to co
napisałem o 00:47. Miałem podane na wykładzie, że to jest twierdzenie, żadnych dodatkowych
oznaczeń. I sam nie wiem za bardzo jak mam to rozumieć... Czy po prostu wklepać i już? Dlatego
dodałem to zadanie, żeby to jakoś ogarnąć a nie tylko zakuć...
24 cze 01:10
Basia: chyba już nie potrafię Ci dalej pomóc
metryka nie musi być ciągła
najlepszym przykładem jest właśnie metryka dyskretna na RxR
może chodzi o jakieś określone rodzaje przestrzeni i metryk
np. o metryki euklidesowe ?
24 cze 01:17
Basia:
metryka dyskretna na R oczywiście (nie RxR)
24 cze 01:18
luk20: Dobra, właśnie na necie sobie o tym poczytałem trochę, i tam też ktoś podał że w ta metryka
będzie ciągła tylko w tym przypadku co napisałaś o 01:05, dla innej metryki już nie będzie,
tak?
24 cze 01:21
Basia: a zresztą już teraz nie wiem; te dwa ostatnie wpisy być może są idiotyzmamem
24 cze 01:22
luk20: A masz jeszcze chwilkę, bo nie mam w sumie się kogo o parę rzeczy zapytać...a w poniedziałek
egzamin...
24 cze 01:25
Basia:
wydaje mi się, że jeżeli d(xn,x0)→0 i d(yn,y0)→0 to d(xn,yn)→d(x0,y0)
ale tylko wydaje i jeżeli nawet to jest prawdą należałoby to udowodnić
weź poprawkę na porę
mogę pisać bzdury i wobec tego już dobranoc
24 cze 01:26
Basia: niestety muszę już kończyć, ale może gość jeszcze jest
powinien pomóc
jutro będę ale chyba dopiero wieczorem
24 cze 01:27
Artur z miasta Neptuna:
Aby udowodnic ciaglosc dla dowolnej metryki musisz wykorzysyac nierownosc trojkatow
d(x0,y0) =< d(x,x0) + d(y0,x) =< d(x,x0) + d(y,y0) + d(x,y)
24 cze 01:55
b.: sorry za odkopywanie, znalazłem w wyszukiwarce i postanowiłem poprawić:
b) jest prawdziwe
dowód:
z nierówności trójkąta
d(x
0, y
0) ≤ d(x
0, x
n) + d(x
n, y
n) + d(y
n, y
0)
skąd przy n→
∞ mamy
d(x
0, y
0) ≤ lim inf d(x
n, y
n)
podobnie
d(x
n, y
n) ≤ d(x
n, x
0) + d(x
0, y
0) + d(y
0, y
n)
skąd przy n→
∞ mamy
lim sup d(x
n, y
n) ≤ d(x
0, y
0)
stąd lim d(x
n, y
n) istnieje i równa się d(x
0, y
0)
| | 1 | |
przykład Basi jest zły, bo ciąg 2+ |
| nie jest zbieżny w metryce dyskretnej |
| | n | |
6 gru 16:04
b.: c) jest źle sformułowane, po lewej stronie bierzemy granicę względem n, a po prawej stronie n
też występuje...
6 gru 16:06