liczba pierwsza liczba pierwsza: Czy liczba 2²¹ + 1 jest liczbą pierwszą? Uzasadnić swoje stwierdzenie.

b.: sprawdz podzielnosc przez 3

liczba pierwsza: jak przy takiej dużej liczbie sprawdzić to?

Patronus: a o tak np 2¹ + 1 = 3 podzielne 2² + 1 = 5 niepodzielne 2³ + 1 = 9 podzielne 2⁴ + 1 = 17 niepodzielne 2⁵ + 1 = 33 podzielne ... Wygląda na to że ta zależnośc utrzyma się dalej zatem jeśli potęga jest nieparzysta to wyrażenie jest podzielne przez 3

Mateusz: Wyglądać to można ładnie np rano a wieczorem już np nie tak samo jest z matematyka coś jest ładne dla pierwszych 100 danych a potem sie sypie Jest takie fajne kryterium Fermata otóż: kazda nieparzysta liczba pierwsza musi spełniać taki warunek: b^p−1≡1 mod p dla każdej liczby b niepodzielnej przez p pokaze np dla 91 gdyby 91 było liczba pierwsza to na mocy tego kryterium 2⁹⁰ byłaby przystajaca do 1 mod 91 ale jak policzymy modulo 91 2⁶=64≡−27 a wiec mamy 2¹²≡(−27)²=729≡1 a jak wiemy 8*91=728 => 2⁸⁴= (2¹²)⁷≡1⁷=1 i 2⁹⁰= 2⁸⁴*2⁶≡1*(−27) a ta liczba nie przystaje do 1 wiec wniosek oczywisty. Oczywiscie dla małych liczb typu 91 łatwiej byłoby znalezc rozkład na czynniki i okreslic czy jest pierwsza czy nie ale dla duzych liczb znalezienie najprostszymi srodkami czynników np liczby 50−cyfrowej moze okazać sie konieczne wykonanie ponad 10²³ dzieleń co superszybkiemu komputerowi zajełoby nie lada sporo czasu podczas gdy kryterium Fermata pozwala stwierdzic złozonosc takiej liczby juz zaledwie kilkunastu mnozeniach

Mila: 2²1 + 1= 2097153 obliczył uczeń z 6 klasy. (pisemnie mnożył!)

AS: Oparłem się na wzorze (dla n nieparzystych) aⁿ + bⁿ = (a + b)*(a^{n − 1} − aⁿ⁻²*b + ... bⁿ⁻¹) 2²⁷ + 1 = (2³)⁹ + 1 = (2 ³ + 1)*((2³)⁸ − ...) = 9* (reszta) a więc jest złożona − podzielna przez 9

AS: Poprawka 2²¹ +1 = (2³)⁷ + 1 = (2³ + 1)*(2⁶ − ...) = 9*reszta a więc jest liczbą złożoną , podzielną przez 9

Mateusz: Oo stary zapomniany wzór skróconego mnożenia Dzięki As za jego przypomnienie

Mila: (2⁷)³+1³=(2⁷+1)*((2⁷)²−..+1)=129*k=3*43*k , gdzie k należy do C

Mila: AS

Eta: Wrrr

AS: Oczywiście , paskud chochlik rozrabia. Powinno być 2²¹ + 1 = (2³)⁷ + 1 = (2³ + 1)*(2¹⁸ −...) = 9*reszta itd

Justyna: Czesc.. Jestem Justyna Chcem žeby wy mnie pomogli Dzielniki liczby 18 : Liczba pierwsza : Liczba zlozone : I tak wszystko do takich cyfr : 33,37,48 i 49 dzięki

Mila: 33,37,48,49 to liczby. Napisz treść zadania,którą masz w książce, albo podaną przez nauczyciela. Z której klasy?

Mateusz: Ale Justyna namieszała nie wiadomo o co chodzi tak swoją drogą nie wiem czy jeszcze omawia się w szkole takie fajne twierdzenie które mówi że jeśli liczba nie dzieli sie przez żadną liczbę całkowitą równą jej pierwiastkowi kwadratowemu lub od niego mniejszą to jest ona liczbą pierwszą. A dowód tego twierdzenia jest trywialny : jesli n jest liczbą złozoną to co najmniej jeden dzielnik jest nie większy od √n a jezeli jest większy to wówczas n=a*b gdzie a>√n i b>√n zatem a*b>√n*√n co jest oczywiście jak widać sprzeczne z założeniem.

samaia: Co to w ogóle za twierdzenie? Nie mówi ono nic poza tym, że jeśli liczba nie dzieli sie przez żadną liczbę całkowitą >1, to jest ona liczbą pierwszą (po uwzględnieniu przemienności mnożenia)!