Twierdzenie o 3 ciągach
BAHIYA: Witam. Proszę o pomoc. Mam obliczyć granicę ciągu korzystając z twierdzenia o 3 ciągach:
limn→∞ = ( 1√n2 + 1 + 1√n2 + 2 + ... + 1√n2 + n
20 cze 11:12
Artur_z_miasta_Neptuna:
tam jest:
| | 1 | | 1 | | 1 | |
bn = |
| + |
| + ... + |
| |
| | √n2+1 | | √n2+2 | | √n2+n | |
niech:
| | 1 | | 1 | | 1 | | n | |
an = |
| + |
| + ... + |
| = |
| −> 1 |
| | √n2+1 | | √n2+1 | | √n2+1 | | √n2+1 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | n | |
cn = |
| + |
| + .... + |
| = |
| −> 1 |
| | √n2+n | | √n2+n | | √n2+n | | √n2+n | |
oczywistą oczywistością jest, że:
c
n ≤ b
n ≤ a
n
z tw. o 3 ciągach masz zatem, że: b
n −> 1
20 cze 11:22
BAHIYA: dziękuję
20 cze 11:28
Artur_z_miasta_Neptuna:
mam nadzieje, ze domyśliłeś się że w an i cn tych członów które sumujesz jest dokładnie 'n'
oraz wiesz dlaczego an ≥ bn oraz bn ≥ cn
20 cze 11:31
BAHIYA: tak, tak
chodziło mi głównie o to jak wyznaczyć a
n i c
n, z tym mam zwykle problem przy
ciągach. ale resztę jak najbardziej rozumiem
20 cze 11:37
Artur_z_miasta_Neptuna:
Bahiya −−− najprościej −−− wybierasz najmniejszy i największy element (jak jest suma iluś
ułamków)
jeżeli np.
| | 1 | |
bn = |
| |
| | 3n + 5n + 9n + 4(2n) | |
to tutaj także wybierasz element o najmniejszej (3
n) i największej (16
n) podstawie −−− uwaga
... sprowadź wszystko do tej samej potęgi
nim zaczniesz cokolwiek robić
A następnie każdy inny element zastępujesz tym właśnie elementem
identycznie jest w przypadku pierwiastka, w której jest suma iluś tam 'rzeczy'
20 cze 11:40
BAHIYA: ok
no a teraz np rozwiązuje zadanie takie : oblicz z tw. o 2 ciągach. i mam przykład
lim
n→
∞ (sinn − 2)n
2. i jak tym się zając?
20 cze 11:54
Artur_z_miasta_Neptuna:
chyba z tw o 3 ciągach
podpowiedź:
sin n ∊ <−1;1>
20 cze 11:57
Artur_z_miasta_Neptuna:
chociaż wystarczy z tw. o 2 ciągach
a
n ≤ b
n −> −
∞
20 cze 11:59
Artur_z_miasta_Neptuna:
to an −> −∞
20 cze 11:59
BAHIYA: ale to w tym momencie jak wyznaczam moje an i bn?
20 cze 12:03
Artur_z_miasta_Neptuna:
an to twój ciąg
bn = (1 − 2)n2 ≥ (sin n − 2)n2 = an
bn = −n2 −> −∞
więc an −> −∞
20 cze 12:05
BAHIYA: a zamiast sinn=1 mogłabym np przyjąć w b
n = (sinn − 2)1
2? podstawiam sobie po prostu za to za
co łatwiej mi będzie obliczyć granicę b
n , tak? i ważne, by mój ciąg był większy niż a
n?
dobrze to rozumiem ?
20 cze 12:11
Artur_z_miasta_Neptuna:
tak ... ale napisałeś bn = (sinn − 2)12 ... mam nadzieję, ze to jest pomylka w pisaniu − bo w
przeciwnym razie to musze Ciebie zmartwić −−− to jest jedna wielka bzdura w tym momencie
20 cze 12:17
BAHIYA: no generalnie chodziło mi o zilustrowanie tego co napisałam... nie zastanawiają się czy to
logiczne
dzięki wielkie za pomoc
20 cze 12:40
Artur_z_miasta_Neptuna:
no to własnie błędnie zilustrowałeś to co myślałem
20 cze 12:57
Artur_z_miasta_Neptuna:
poprawne zilustrowanie to bn = (1−2)n2
20 cze 12:57
