zadanie zadanie: Indukcyjnie wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 144 istnieją liczby naturalne x i y takie, że n = 9x * 19y

najmniejsze dodatnie rozwiązan: Pomoże ktoś?

Vax: Teza nie jest prawidłowa, nie miało być przypadkiem znaku + zamiast * ?

najmniejsze dodatnie rozwiązan: Zgadza się, tam jest błąd. Powinno być n = 9x + 19y

Vax: Zauważmy, że w Z₉ mamy {n , n−19 , n−2*19 , ... , n−8*19} = {0,1,2,3,..,8}. Istotnie: n−19*k = n−19*l (mod 9) ⇔ 19(k−l) = 0 (mod 9) ⇔ k=l (mod 9) Tak więc dla n ≥ 8*19 = 152 teza działa (od n odejmujemy cały czas 19 dopóki nie dostaniemy liczby podzielnej przez 9, a dostaniemy zawsze, co pokazałem na początku). Dla n=144,145,..,151 sprawdzamy ręcznie, że działa. qed.

zadanie: Dlaczego w Z₉?

Vax: W Z₉ czyli mod 9, po prostu zauważamy fakt, który pozwala rozwiązać zadanie.

zadanie: 144 i 9 dzielą się przez 9, ale 19?

Vax: Pokażę dla przykładu jak to wygląda dla n=182. Widzimy, że dana liczba nie dzieli się przez 9. Odejmujemy 19 otrzymujemy 182−19 = 163, co również nie dzieli się przez 9. Odejmujemy dalej: 163−19 = 144, co się dzieli przez 9 (144 = 16*9), więc 182 − 2*19 = 16*9 ⇔182 = 16*9 + 2*19 Czyli teza działa (x=16 , y=2). To co wcześniej pokazywaliśmy to to, że mając dowolną liczbę naturalną n, n ≥ 152, któraś z liczb: n , n−19 , n−2*19 , ... , n−8*19 musi być naturalna i podzielna przez 9, co jest równoważne z tezą. Pozostaje rozpatrzeć przypadki, gdy 151 ≥ n ≥ 144