Zbadac ekstrema bezwarunkowe: Radek: Prosilbym krok po kroku Zbadac ekstrema bezwarunkowe: a) f(x,y,z) = x³+y³+z²+6xy+4z b) f(x,y,z) = −x²−y²−z³+2x+6yz

Basia: no to zaczynaj pierwszy krok: oblicz f'_x, f'_y i f'_z napisz co dostałeś; sprzwdzę

Radek: a) f'x = 3x²−6y f'y = 3y²−6x f'z = 2z−4 b) f'x = −2x+2 f'y = −3y²+6z f'z = −3z²+6y

Basia: zajmijmy się tylko zadaniem (1) skąd te minusy się wzięły ? f'_x = 3x²+6y f'_y = 3y²+6x f'_z = 2z+4 no to teraz krok 2 szukamy miejsc zerowych czyli rozwiązujemy układ równań: 3x²+6y=0 /:3 3y²+6x=0 /:3 2z+4 = 0 /:2 x²+2y = 0 y²+2x = 0 z+2 = 0 z = −2 2y = −x²

	x2
y = −
	2

	x2
(−		)2 + 2x = 0
	2

x4
	+2x = 0 /*4
4

x⁴ + 8x = 0 x(x³+8) = 0 x = 0 ⇒ y=0 lub x = −2 ⇒ y=−2 czyli mamy dwa rozwiązania i dwa punkty "podejrzane" A(0;0;−2) B(−2; −2; −2) teraz sam policz pochodne mieszane i znowu napisz

Radek: tzn?

Basia: f"_xx; f"_xy; f"_xz; f"_yx; f"_yy; f"_yz; f"_zx; f"_zy; f"_zz

Radek: f"xx=6x f"xy=6 f"yx=6 f"yy=6y f"zz=2 reszty nie potrzeba bo zero wychodzi

Basia: wychodzi zero, ale to nie znaczy, że nie trzeba masz teraz wyznacznik W(x,y,x) = 6x 6 0 6 6y 0 0 0 2 policz go

Radek: wyszlo 0?

Basia: a niby jakim cudem ? metodą Sarrusa tu najłatwiej W(x,y,z) = 6x*6y*2 + 6*0*0 + 0*6*0 − 0*6y*0 − 0*0*6x − 2*6*6 = 72(xy−1) W(0;0;−2) = 72(0*0−1) = −72 nie ma ekstremum W(−2; −2; −2) = 72[(−2)*(−2) − 1] = 72*3 > 0 jest ekstremum co trzeba policzyć żeby sprawdzić jakie ?

Kwachu: a(o,o,−2) 0 6 0 d₁=0 6 0 0 d₂=−36 <0 dla pkt A, nie ma ekstrem 0 0 2 b(−2,−2,−2) −12 6 0 d₁=−12<0 6 −12 0 d₂=144−36 >0 0 0 2 d₃=288 − 72 >0 dla pkt B, też nie ma ekstrem

Kwachu: Basia, w pkt. B serio jest ekstremum? Co zrobiłem źle?

Basia: Jesli funkcja ma pochodne rzedu drugiego na otoczeniu tych punktow to: a) w tych punktach ma minim lokalne gdy d₁>0, d₂>0, d₃>0 b) w tych punktach ma max lokalne gdy d₁<0, d₂>0, d₃<0 faktycznie nie ma; w (b) pomyliłam znaki

Kwachu: uff uspokoiłaś mnie