szał. Trivial: Kolejne zadanko dla chętnych. Rozwiąż równanie w obszarze niezawierającym osi układu współrzędnych.

	∂2u		∂2u		∂2u		∂u		∂u
x2		− 2xy		+ y2		+ x		+ y		= 0.
	∂x2		∂x∂y		∂y2		∂x		∂y

Mila: Trivial, dobijasz mnie, zajmowałam się rachunkami przez wiele lat i teraz czuję się jak nielot matematyczny. Wam orły życzę powodzenia.

Ajtek: A że o co chodzi?

Trivial:

Ajtek: Nie zerkaj tak, nawet nie wiem od której strony podejść. Czyli mam gorzej z podejściem do tego, niż pies do jeża .

Trivial: Ja również do niedawna nie wiedziałem jak do tego podejść. Szczerze mówiąc nie spodziewałem się, że studiując na kierunku Informatyka będę miał takie rzeczy.

Ajtek: Widzisz, ja z "matmą poważną" miałem do czynienia jakieś 13 lat temu. Teraz przypominam sobie rzeczony przedmiot, ale czegoś takiego to nie miałem. Bynajmniej nie pamiętam tego, a w notatkach tego typu zadań nie widzę .

Trivial: Ajtek, a jaki przedmiot studiowałeś?

Trivial: Kierunek*

Ajtek: Zarządzanie i marketing.

Trivial: To chyba nic dziwnego, że czegoś takiego nie było.

Ajtek: No nie, stąd mój pierwszy wpis .

Godzio: Za półtora roku się podejmę jak już zacznę teorię równań różniczkowych

Ajtek: A z czym to się zjada, że tak zapytam .

Trivial: Trzeba poszukać dobrego podstawienia i zamienić zmienne. Wyjdzie dużo prostsze cząstkowe równanie różniczkowe, które rozwiązujemy korzystając z odpowiednich metod, a następnie trzeba wrócić do starych zmiennych i gotowe!

Ajtek: Powiedzmy że rozumiem choć ociupinkę .

ZKS: Nie wiem czy dobrze myślę czy można by tak zacząć?

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

x

(

−

) + y

(

−

) + x

+ y

∂x

∂x

∂y

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

= x

(

−

+ 1) + y

(

−

+ 1)

∂x

∂x

∂y

∂y

∂x

∂y

	∂u		∂u		∂u		∂u
= (		−		+ 1)(x		+ y		)
	∂x		∂y		∂x		∂y

ZKS: Ee coś mi się pomyliło jednak chciałem sobie za bardzo życie ułatwić.

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

x

(x

−

) + y

(y

−

) +

∂x

∂x

∂y

∂y

∂y

∂x

	∂u		∂u
+ x		+ y		=
	∂x		∂y

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

∂u

= x

(x

−

+ 1) + y

(y

−

+ 1)

∂x

∂x

∂y

∂y

∂y

∂x

ZKS: I teraz 2 zjadłem pomyśle nad tym jutro bo chyba muszę się przespać.

Bezimienny: na jakich zajęciach masz cząstkowe równania różniczkowe? na analizie? u mnie na informatyce robimy tylko zwyczajne

Basia: ∀_x [ x jest jakimkolwiek równaniem różniczkowym ⇒ x∊analizy] my to mieliśmy jako oddzielne wykłady: − analiza f.jednej zmiennej − analiza f.wielu zmiennych − równania różniczkowe zwyczajne − równania różniczkowe cząstkowe − analiza funkcjonalna z trzech ostatnich nic nie pamiętam

Bezimienny: to te równania różniczkowe to niezłe muszą być jak aż dwa oddzielne wykłady są ja to na informatyce mam pewnie tylko jakieś podstawy podstaw

Trivial:

	d2u		du
ZKS,		≠ (		)2.
	dx2		dx

Trivial: Bezimienny, tak na analizie.

Nie umiem matematyki: To kto to zrobi?

Ajtek: Trivial jak wpadnie .

ZKS: Trivial jak coś powiedz czy coś w ogóle tu jest dobrze. Jak jest źle to ja już żadnego pomysłu nie mam. 1^o x² * u''(x) − 2xy * u'(x) + x * u'(x) = 0 2^o y² * u''(y) − 2xy * u'(y) + y * u'(y) = 0 1^o x² * u''(x) = x(2y − 1) * u'(x) niech u'(x) = v(x) wtedy

dv		2y − 1
	=		* v(x)
dx		x

dv		dx
	=
v(x)[2y − 1]		x

	dv		dx
∫		= ∫
	v(x)[2y − 1]		x

ln|v(x)[2y − 1]|
	= ln|x| + C1
2y − 1

ln|v(x)[2y − 1]| = (2y − 1)(ln|x| + C₁)

	e(2y − 1) * C1 * x2y − 1
v(x) =
	2y − 1

v(x) = C₂ * x^{2y − 1} u'(x) = C₂ * x^{2y − 1} du = C₂ * x^{2y − 1} * dx ∫ du = ∫ C₂ * x^{2y − 1} * dx

	C2
u(x) =		* x2y + C3
	2y

u(x) = C * x^2y + D.

Trivial: Źle od samego początku. To są pochodne cząstkowe, a nie zwykłe pochodne.

Trivial: Sposób rozwiązana jest taki:

	∂2u		∂2u		∂2u		∂u		∂u
(☆) x2		− 2xy		+ y2		+ x		+ y		= 0
	∂x2		∂x∂y		∂y2		∂x		∂y

Szukamy podstawienia, które uprości nasze równanie. Zapisujemy równanie charakterystyk.

	dy		dy
x2(		)2 + 2xy(		) + y2 = 0
	dx		dx

	dy
(x		+ y)2 = 0
	dx

	dy		1
		+		y = 0
	dx		x

	C
y = Ce−∫(1/x)dx = Ce−lnx =
	x

C = xy Dokonujemy podstawienia

	⎧	ξ = xy
	⎩	η = y

Problem pojawia się dla x = 0 lub y = 0, ale w zadaniu odrzuciliśmy tę dziedzinę rozwiązań (są to osie układu współrzędnych).

	∂u		∂u	∂ξ		∂u	∂η		∂u
		=			+			= y
	∂x		∂ξ	∂x		∂η	∂x		∂ξ

∂u

∂u

∂ξ

∂u

∂η

∂u

∂u

=

+

= x

+

∂y

∂ξ

∂x

∂η

∂x

∂ξ

∂η

∂2u

∂

∂u

∂2u

∂ξ

∂2u

∂η

=

(y

) = y

+ y

∂x2

∂x

∂ξ

∂ξ2

∂x

∂η∂ξ

∂x

	∂2u
= y2
	∂ξ2

	∂2u		∂		∂u
		=		(y		)
	∂x∂y		∂y		∂ξ

	∂u		∂2u	∂ξ		∂2u	∂η
=		+ y			+ y
	∂ξ		∂ξ2	∂y		∂η∂ξ	∂y

	∂u		∂2u		∂2u
=		+ xy		+ y
	∂ξ		∂ξ2		∂ξ∂η

	∂2u		∂		∂u		∂u
		=		(x		+		)
	∂y2		∂y		∂ξ		∂η

	∂2u	∂ξ		∂2u	∂η
= x			+ x
	∂ξ2	∂y		∂η∂ξ	∂y

	∂2u	∂ξ		∂2u	∂η
+			+
	∂ξ∂η	∂y		∂η2	∂y

	∂2u		∂2u		∂2u
= x2		+ 2x		+
	∂ξ2		∂ξ∂η		∂η2

Wstawiamy do równania (☆):

	∂2u		∂u		∂2u		∂2u
x2(y2		) − 2xy(		+ xy		+ y		)
	∂ξ2		∂ξ		∂ξ2		∂ξ∂η

	∂2u		∂2u		∂2u
+ y2(x2		+ 2x		+		)
	∂ξ2		∂ξ∂η		∂η2

	∂u		∂u		∂u
+ x(y		) + y(x		+		) = 0
	∂ξ		∂ξ		∂η

Po uproszczeniu zostaje:

	∂2u		∂u
y2		+ y		= 0
	∂η2		∂η

Dzielimy obie strony przez y (z założenia zadania y ≠ 0) i podstawiamy η = y

	∂2u		∂u
η		+		= 0
	∂η2		∂η

Zmienne zamienione! Zwijamy teraz w pochodną iloczynu i mamy:

	∂		∂u
		(η		) = 0
	∂η		∂η

Całkujemy po η

	∂u		∂u		φ(ξ)
η		= φ(ξ) →		=
	∂η		∂η		η

Całkujemy po η po raz drugi i mamy: u = φ(ξ)ln(η) + ψ(ξ) Wracamy do starych zmiennych i mamy: u(x,y) = φ(xy)ln(y) + ψ(xy) Gdzie φ, ψ są dowolnymi funkcjami klasy C². Sprawdzenie u(x,y) = φ(xy)ln(y) + ψ(xy)

	∂u
		= φ'(xy)*yln(y) + ψ'(xy)*y
	∂x

	∂u		φ(xy)
		= φ'(xy)*xln(y) +		+ ψ'(xy)*x
	∂y		y

	∂2u
		= φ''(xy)*y2ln(y) + ψ''(xy)*y2
	∂2x

	∂2u
		= φ''(xy)*xyln(y) + φ'(xy)*ln(y) + φ'(xy) + ψ''(xy)*xy + ψ'(xy)
	∂x∂y

	∂2u		φ'(xy)*x		φ'(xy)*xy − φ(xy)
		= φ''(xy)*x2ln(y) +		+		+ ψ''(xy)*x2
	∂2y		y		y2

Wstawiamy do równania i mamy: (☆) x²y²ln(y)φ''(xy) + x²y²ψ''(xy) −2x²y²ln(y)φ''(xy)− 2xyln(y)φ'(xy) − 2xyφ'(xy)− 2x²y²ψ''(xy)−2xyψ'(xy) + x²y²ln(y)φ''(xy) + xyφ'(xy) + xyφ'(xy) − φ(xy) + x²y²ψ''(xy) + xyln(y)φ'(xy) + xyψ'(xy) + xyln(y)φ'(xy) + φ(xy) + xyψ'(xy) = 0 A zatem rozwiązanie jest poprawne.

Trivial: Z powodów estetycznych nie pisałem wartości bezwzględnej przy ln(y). Wszędzie powinno być ln(|y|).

Use: Czytając post z 18;07 zastanawiam sie czy aby napewno dobrze zrobilem wybierając takie a nie inne studia rzeźnia jak nic,no ale cóż... coś czuje że będzie płacz i zgrzytanie zębów ...a na ktorym roku takie cudenka sie liczy ?

ZKS: Mogę się tylko tłumaczyć że tego nie miałem haha. Ale chociaż na przyszłość coś będzie świtało jak mniej więcej coś takiego się robi.

Use: No ja mam nadzieje że na matmie stosowanej czegos takiego nie bedzie .... chociaz wątpliwa sprawa ^^

ZKS: Na pewno coś tam będziesz miał. Mi tam się nawet podobały równania różniczkowe tylko nie na tym poziomie jakie tutaj przedstawił Trivial bo na moim kierunku tak rozbudowana matematyka nie jest potrzebna.

Trivial: Use, na drugim rzecz jasna.