pochodna kierunkowa Marek:

	df
Dla funkcji f(x,y) = xey−2x + √x obliczyć		(1,2) w kierunku wersora v=
	dv

	√2		√2
[−		,		].
	2		2

W kierunku którego wektora, przyrosty f(x,y) od punktu (1,2) są najmniejsze?

Marek: up

Marek: up

Marek: up

Marek: up

Marek: up

Trivial: Policz gradient f w punkcie (1,2), a następnie pomnóż skalarnie z wersorem v.

Marek:

	1		3
A czy wersor wychodzi (−		, −		) ?
	2		2√3

Marek: Nie to zadanie, srry. Już liczę Trivial

Marek: czy gradient wychodzi √2 ?

Marek: znaczy pochodna kierunkowa tyle wyszła.

Godzio:

∂f		1		∂f		1
	= ey − 2x − 2xey − 2x +		,		(1,2) = −
∂x		2√x		∂x		2

∂f		∂f
	= xey − 2x,		(1,2) = 1
∂y		∂y

	1
grad(1,2) = (−		,1)
	2

∂f		1		√2		√2
	(1,2) = grad(1,2) o v = [−		,1] o [−		,		] =
∂v		2		2		2

	√2		√2		3√2
=		+		=
	4		2		4

Tomasz: polecam : http://www.etrapez.pl/blog/pochodne/pochodne-kierunkowe-znowu-cos-nowego/ sorry za konkurencję ale może jak sam się nauczysz to będziesz lepiej rozumiał

Marek: dobrze a teraz jak sprawdzić w kierunku którego wektora, przyrosty f(x,y) od punktu (1,2) są najmniejsze?

Godzio: To już do kogoś innego pytanie, bo jeszcze tego nie miałem

Marek: Dzięki Tomasz, myśle ze juz ogarniam ten gradient ale nie mam pojęcia jak sprawdzić te przyrosty. Godzio może Ty wiesz?

Marek: rozumiem Trivial, może Ty rozumiesz o co tu chodzi?

Tomasz: Kierunek największego albo najmniejsze wzrostu funkcji w jakimś punkcie to po prostu wartość jej gradientu w tym punkcie chyba ;>

Trivial: Oznaczmy nasz szukany wersor przez (u, v). Wiemy także, że v = √1−u² (jako, że (u,v) jest wersorem − ma długość 1). Zatem

	1		1		1
grad(1,2)o(u,v) = (−		, 1)o(u, v) = −		u + v = −		u + √1−u2 = φ(u).
	2		2		2

φ'(u) = ... Przyrównać do zera i poszukać minimum dla 0 ≤ |u| ≤ 1.

Trivial: v może być równe także −√1−u². Trzeba rozważyć i ten przypadek.

Marek: Ok, wielkie dzięki Trivial !

Trivial: Jeżeli nie chcesz rozbijać na przypadki możesz skorzystać ze sposobu znajdowania ekstremum warunkowego funkcji wielu zmiennych (mnożników Lagrange'a).

	1
g(u,v) = −		u + v.
	2

Naszym warunkiem jest u²+v²−1 = 0. Definiujemy funkcję F(u,v,λ) wzorem

	1
F(u,v,λ) = −		u + v + λ(u2+v2−1)
	2

Kandydatów na ekstrema szukamy wśród punktów spełniających układ równań

	⎧	∂F/∂u = 0
	⎨	∂F/∂v = 0
	⎩	∂F/∂λ = 0

Zatem

	⎧	−1/2 + 2λu = 0
	⎨	1 + 2λv = 0
	⎩	u2+v2−1 = 0

Skąd

	1
u =
	4λ

	1
v = −
	2λ

Dalej...

	1		1
(		)2 + (−		)2 − 1 = 0
	4λ		2λ

1		1
	+		= 1 /*λ2
16λ2		4λ2

1		1
	+		= λ2
16		4

5
	= λ2
16

	√5
λ = ±		.
	4

	√5
dla λ =		:
	4

1

2

1   −   2

2

5

√5

g(u,v) = g(

, −

) =

−

= −

= −

√5

√5

√5

√5

2√5

2

	√5
dla λ =		:
	4

	1		2		1   2		2		√5
g(u,v) = g(−		,		) =		+		= ... > −
	√5		√5		√5		√5		2

	1		2
Zatem naszym szukanym wersorem jest (u,v) = (		, −		)
	√5		√5

Trivial: Zabrakło minusa w drugim 'dla'.

Vizer: Że Ci się chciało pisać

Trivial: Dawno już nie pisałem tutaj długich postów. Metoda kopiuj−wklej all the way.