Mrówka: Udowodnij, że liczba 1988¹⁶ − 1 jest podzielna przez 3

Basia: wzory skróconego mnożenia a = 1988¹⁶ − 1 = (1988⁴−1)(1988⁴+1) = (1988²−1)(1988²+1)(1988⁴+1) = (1988−1)(1988+1)(1988²+1)(1988⁴+1) = 1987*1989*(1988²+1)(1988⁴+1) liczba 1989 jest podzielna przez 3 (bo 1+9+8+9 = 27, a 27 dzieli się przez 3) ⇒ a też jest podzielna przez 3

Vizer: 1988¹⁶−1=(1988⁸−1)(1988⁸+1)=(1988⁴−1)(1988⁴+1)(1988⁸+1)= =(1988²−1)(1988²+1)(1988⁸+1)(1988⁸+1)= =(1988−1)(1988+1)(1988²+1)(1988⁸+1)(1988⁸+1)= =1987*1989*(1988²+1)(1988⁸+1)(1988⁸+1) Liczba 1989 dzieli się przez 3, więc cały iloczyn jest podzielny przez 3, a z kolei wejściowe wyrażenie 1988¹⁶−1 również jest podzielne przez, c.n.d.

Vizer: Oczywiście w przedostatnich nawiasach liczba 1988 powinna być podniesiona do czwartej, pomyłka przy przepisywaniu

Bezimienny: a ciekawe czy można to zrobić w ten sposób? = kongruencja 1988¹⁶ = x (mod 3) φ(3) = 2 1988² = 1 (mod 3) (1988²)⁸ = 1⁸ (mod 3) 1988¹⁶ = 1 (mod3) a = b (mod n) Jeśli liczby a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez n to ich różnica a − b jest wielokrotnością liczby n lub równoważnie n jest dzielnikiem a − b więc 3|(1988¹⁶−1)

Vizer: Pewnie kongruencja do tego zadania nadaje się doskonale, ale Ci nie sprawdzę zadania, bo nie wgłębiałem się w nią za bardzo

Vax: Jest ok, ale nie trzeba korzystać z twierdzenia Eulera, po prostu: 1988 = −1 (mod 3)/¹⁶ ⇒ 1988¹⁶ = 1 (mod 3) cnd.