Całka potrójna Bezimienny: Za pomocą rachunku całkowego obliczyć objętość bryły ograniczonej wskazanymi powierzchniami (nazwać powierzchnie) Naszkicować bryły. 1) x² + y² + z² = 4, x² + y² = 3z Ok to próbuje to najpierw narysować i wychodzi mi coś takiego jak na rysunku. Zielone to to co muszę obliczyć. Dobrze? Mam problem z wyznaczeniem jak zmieniają się zmienne. Może ktoś pomóc?

Vizer: Rysunek jest chyba w porządku. A co do zmiennych, to musisz przejść na współrzędne sferyczne.

Bezimienny: też myślałem nad tymi współrzędnymi sferycznymi ale z nimi też mam problem chyba coś takiego: 0 <= r <= 2 0 <= φ <= 2π ale nie wiem jak zmienia się θ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Wsp_sferyczne.svg

Vizer: Hmm no fakt, tez mam problem z wyznaczeniem θ, to jak nie sferyczne, to zastają już tylko walcowe

Bezimienny: nie daje rady, to moje pierwsze zadanie z całek potrójnych

Vizer: Hmm przechodząc na walcowe będzie to wyglądało chyba tak: Najpierw napisze współrzędne walcowe { x=rcosφ { y=rsinφ { z=z |J=r V: { 0≤φ<2π { 0≤r≤2 { 0≤z≤√4−r² Oczywiście głowy nie dam za to zadanie, też nie za wiele takich robiłem

Bezimienny:

	19
odp to		π a w twoim wychodzi niestety inaczej
	6

nadal aktualne

Vizer:

	1
Hmm możliwe, że jeszcze z źle ograniczyłem od dołu spróbuj dać		r2
	3

Basia: moim zdaniem

r2
	≤ z ≤ √4−r2
3

Vizer: Basiu poprawiłem to post wyżej od Twojego

Krzysiek: r∊[0,√3] http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_%280%29%5E%282pi%29+%28integral_%280%29%5E%28sqrt%283%29%29+%28r%28sqrt%284-r%5E2%29-1%2F3+r%5E2+%29%29dr%29d%28phi%29

Vizer: Tylko to coś tez mi nie wychodzi z odpowiedzią Bezimiennego... http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral^2pi_0%28integral^2_0%28integral^%28sqrt%284-%28r^2%29%29%29_%28%28r^2%29%2F3%29%28r%29dz%29dr%29d%28phi%29%29

Vizer: Krzysiek jak wytłumaczysz mi skąd √3 to byłbym Ci bardzo wdzięczny

Vizer: O kurcze fakt, powierzchnia to nie będzie okrąg, x²+y²=4, tylko x²+y²=3, bo z góry rzut będzie właśnie taki..., dobrze myślę?

Krzysiek: tak, dokładnie o to chodzi

Vizer: Kurcze, już tak bliski byłem rozwiązania, dzięki Bezimienny za fajne zadanko

Bezimienny: Możecie mi wytłumaczyć? Nie wiem o czym piszecie Vizer ja sie nie ciesze z tego zadania bo takie i moze jeszcze gorsze czekaja na mnie juz w srode...

Vizer: A co dokładnie nie rozumiesz, bo nie chce mi się wszystkiego opisywać?

Bezimienny: dlaczego √3? bo nie rozumiem skąd x²+y²=3 jakiś rzut z góry

Vizer: Hmm jakby to wytłumaczyć... Sfera na płaszczyźnie OXY tworzy koło x²+y²≤4, czyli r=2, ale w naszym zadaniu sfera przecina się z paraboloidą, a rzut jej na OXY jest kołem x²+y²≤3 (wynika to wprost z układu równań tych dwóch brył) i dlatego nasz promień zmienia się 0≤r≤√3

Bezimienny: to czerwone? układ równań taki? x² + y² + z² = 4 x² + y² = 3z ale mi z tego nic nie wychodzi xD jedynie z₁=−4 i z₂ = 1 sry ja już dziś nie ogarniam w ogóle. możesz jeszcze mi pokazać jak dojść do promienia √3

Vizer: Tak to czerwone, bardzo dobrze Ci wyszedł układ równań, i odrzucasz wynik z=−4, bo jak widać nawet na rysunku, nie przecina się tam paraboloida ze sferą, bo paraboloida leży na płaszczyzną OXY, teraz ten z=1 postawiasz pod równanie paraboloidy (to tak jak byśmy obcięli ją nożem w z=1) to wtedy nam powstaje okrąg x²+y²=3 I po podstawieniu współrzędnych walcowych r²=3⇒r=√3. Everything clear?

Bezimienny: ok teraz wszystko wydaje się jasne a czy takie jest to okaże się przy robieniu kolejnych zadań dzięki

Janusz: W przypadku gdy zamiast paraboloidy funkcją ograniczającą bedzie funkcja np. 3z = x² + y² nie trzeba wyliczac przeciec, tylko wstawić promień sfery?

Adamm: 3z=x²+y² to paraboloida

Janusz: 3z=sqrt(x²+y²)* przepraszam, pomyłka

Adamm: nie trzeba wtedy mamy stożek, i jedyne co musimy wiedzieć, to jego nachylenie

Janusz: a jakby to obliczyć tą samą metodą (przecięcia) co w przypadku paraboloidy?

Adamm: w walcowych chcesz liczyć? możesz spróbować, pewnie to policzenia pytanie tylko jak jest łatwiej