Wyznaczyć ekstrema lokalne oraz przedziały monotoniczności funkcji: Stalowa Helga: Proszę ładnie o pomoc Wyznaczyć ekstrema lokalne oraz przedziały monotoniczności funkcji: f(x)=x²lnx

Basia: krok po kroku: wyznacz dziedzinę podaj odpowiedź

Stalowa Helga: D: x∊0

Stalowa Helga: tzn x>0

Basia: co ten zapis oznacza: x należy do zera ? x należy do zbioru pustego ? jakie liczby można logarytmować, a jakich nie ?

Basia: dobrze; x>0 czyli x∊(0;+∞) no to spróbuj teraz policzyć pochodną; zauważ, że masz iloczyn dwóch funkcji czyli trzeba zastosować wzór na pochodną iloczynu

Stalowa Helga: Pochodna to 2xlnx+1/x³

Basia: dlaczego tak ? zaczęłaś dobrze

	1
f'(x) = (x2)'*lnx + x2*(lnx)' = 2x*lnx + x2*		= 2x*lnx + x = x(2lnx + 1)
	x

no to teraz trzeba rozwiązać równanie f'(x) = 0 x(2lnx+1) = 0 x≠ 0 bo ustaliłyśmy, że D=(0;+∞) czyli 2lnx + 1 = 0 potrafisz to rozwiązać ?

Stalowa Helga: Przyznaje, że na tym właśnie się zatrzymałam

Basia: 2lnx = −1 lnx = −¹₂

	1
x = e−1/2 =
	√e

ponieważ x>0 znak pochodnej zależy tylko od znaku wyrażenia 2lnx+1

	1
2lnx+1 > 0 ⇔ x>
	√e

	1
2lnx+1 < 0 ⇔ x<
	√e

	1
x∊(0;		) ⇒ 2lnx+1<0 ⇒ f'(x)<0 ⇒ f.maleje↘
	√e

	1
x∊(		;+∞) ⇒ 2lnx+1>0 ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie↗
	√e

	1
czyli dla x=		funkcja ma minimum
	√e

i koniec

Stalowa Helga: Dziękuję