analiza matematyczna Kwachu: za parę dni mam dobieg z ćwiczeń z matematyki. Może ktoś mi sprawdzić moje rozwiązania z kolokwium gdzie były same pochodne?

	⎧	2x x>0
1)zbadać czy funkcja jest różniczkowalna w pkt. x=0 dla f(x)	⎩	x2 +1 x≤0

2) oblicz pochodną funkcji f(x)=sin(ln(x² +1)) 3) oblicz pochodną cząstkową dla funkcji f(x,y,z)=ln(y) * 2^x + z² sin(z) 4)rozwązać funkcję f(x,y)=sinx + siny w wielomian Taylora drugiego stopnia (3 pierwsze wyrazy)

	π
w pkt. (π,		)
	2

ad.1 badam ciągłości i sprawdzam czy ma pochodną: lim_x−>0⁺ 2x=0 lim_x−>0⁻ x² +1=1 funkcja nie jest ciągła, więc nie jest różniczkowalna ad.2

	2x
f'(x)=cos(ln(x2 + 1) *
	X2 +1

ad.3 f'(x)=2^x ln2 * (−ln(y))

	1
f'(y)=2x *
	y

f'(z)= 2z sin(z) * z² cos(z) ad.4 f(x,y)=sinx + siny = 0+1=1 f'x(x,y)=cosx=−1 f'y(x,y)=cosy=0 f''xx(x,y)=−sinx=0 f''xy(x,y)=0 f''yx(x,y)=0 f''yy(x,y)=−siny=−1

	1		π		1		π
sinx + siny≈1 +		* (−1,0)|(x−π,y−		) +		* (0,0,0,−1)|(x−π,y−		)2
	1!		2		2!		2

konrad: 2. gut

Basia: (1) i (2) dobrze; a pozostałych jeszcze nie sprawdziłam

konrad: 3. po x − bez tego minusa

Kwachu: dzięki wam bardzo

Kwachu: Konrad, nie wiem skąd mi się on wziął, na kartce go nie mam

Kwachu: Jeszcze mam rozwiązania do 2 grupy pytania te same tylko dane zmienione:

	⎧	2x+1 x>0
1) różniczka w pkt. x=0 f(x)=	⎩	x2 +1 x≤0

2) pochodna f(x)=xsin(2x+1) 3) pochodna czastkowa f(x,y,z)= 2^x ln(y) + z³ sin(z)

	π
4) 3 wyrazy Taylora z f(x,y)= 2sinxsiny w pkt (π,		)
	2

ad.1 ciągłość: lim_x−>0⁺ 2x+1=1 lim_x−>0⁻ x² +1=1 f(x) jest ciągła pochodne:

	ρ(0+h) − ρ(0)		2h +1 −1
f'+ (0)=limh−>0		=limh−>0		=2
	h		h

	ρ(0+h) − ρ(0)		h2 +1 −1
f'− (0)=limh−>0		=limh−>0		=0
	h		h

funkcja w pkt 0 nie ma pochodnej więc f(x) nie jest różniczkowalna. ad.2 f'(x)= sin(2x+1) + 2xcos(2x + 1) ad.3 f'(x)= 2^x ln2 ln(y)

	2x
f'(y)=
	y

f'(z)= 3z² sin(z) * z³ cos(z) ad.4 f(x,y)= 2sinx siny= 0 f'(x)=2cosx siny= −2 f'(y)= 2sinx cosy= 0 f''(xx)= −2sinx siny= 0 f''(xy)= 2cosx cosy=0 f''(yx)= 2cosx cosy= 0 f''(yy)= −2sinx siny=0

	1		π		1		π
2sinx siny≈ 0 +		* (−2,0)|(x−π, y−		) +		* (0,0,0,0)|(x−π,y−		)
	1!		2		2!		2

Basia: (1) dobrze (2) f'(x)= sin(2x+1) + 2xcos(2x + 1) *2 (pochodna 2x+1) (3) + nie * (4) dobrze tylko zapis fatalny

	df
to nie jest f'(x) tylko f'x(x,y) albo		itd.
	dx

i nie f'_x(x,y) = −2 tylko f'_X(π;^π₂) = −2 itd no i tego końcowego zapisu nie łapię

Kwachu: Basia, jeżeli chodzi o zadanie 2, to właśnie pochodną z 2x+1 dałem przed xcos(2x+1) i zapisałem to jako 2xcos(2x+1). no chyba że powinienem to jeszcze raz wymnożyć przez funkcję wewnętrzną w sin? nie rozumiem komentarza do 3 zapis brzydki, bo nie miałem już ochoty przy każdej pochodnej zapisywać f'x(x,y) itd zapis końcowy to Taylor, tylko żeby było bardziej czytelnie, to rozbiłem licznik na całość i

	1
mianownik na
	n!

Kwachu: z 3 już wiem o co ci chodzi spojrzałem do rozwiązań na kartce i rzeczywiście, ma być +

Kwachu: oho i widzę że że na końcu w Taylorze nie wziąłem jeszcze do ²

Basia: ad (2) tak w porządku, przeoczyłam

Kwachu: dzięki w takim razie zabieram się za II część analizy i za parę dni przedstawię moje rozwiązania do koła z ekstremami i całkami . Mam nadzieję że pomożecie i sprawdzicie

Basia: oczywiście