Równość zbiorów Lavanos: Proszę o sprawdzenie, czy dobrze rozumuję i o ewentualne naprowadzenie mnie na poprawne rozwiązanie: Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwe jest: P(A\B)=P(A)\P(B) Robię to tak: Weźmy dowolny podzbiór X P: X∊P(A)\P(B)⇔X∊P(A) ⋀ X∉P(B) L: X∊P(A\B)⇔(∃x∊X)(P(x∊A⋀x∉B)⇔P(x∊A)⋀P(x∉B)⇔X∊P(A) ⋀ X∉P(B) P=L

Artur z miasta Neptuna: Ω − dwukrotny rzut kostką (6−ścienną) A − wypadną minimum 4 oczka w pierwszym rzucie B − wypadną minimum 4 oczka w drugim rzucie A\B − wypadnie minimum 4 oczka w pierwszym i co najwyżej 3 oczka w drugim rzucie

	1		1
P(A) =		* 1 =
	2		2

	1		1
P(B) = 1*		=
	2		2

P(A) − P(B) = 0

	1		1		1
P(A\B) =		*		=
	2		2		4

Uwaga Czy zapis taki: P(A\B)=P(A)\P(B) nie oznacza przypadkiem P(A\B)=P(A)−P(B) Jeżeli tak to powyższy przykład pokazuje że nie jest to prawdą. Jeszcze bardziej dosadnym przykładem by było, gdyby P(B) = 1 P(A\B)=P(A)−P(A∩B)

Artur z miasta Neptuna:

	1		1
Dlaczego bardziej dosadny ... bo by wyszło że P(A\B)=		− 1 = −
	2		2

Artur z miasta Neptuna: tak naprawdę taki zapis: P(A\B)=P(A)\P(B) jest nieprawidłowy ponieważ symbol '\' odnosi się do zbiorów, natomiast P(A) jest FUNKCJĄ i daje konkretną wartość ... dlatego prawdopodobieństwa można dodawać/odejmować tak jak liczby, a nie można tak jak zbiory poprawny zapisem byłoby: P(A\B)=P(A) − P(A∩B) (czyli co napisałem na końcu pierwszej odpowiedzi ... i taki wzór jest prawidłowy dla dowolnego A,B∊Ω

Lavanos: Zapis jak najbardziej poprawny, bo P(A) nie jest funkcją tylko zbiorem potęgowym, a ja najwyraźniej zbyt ogólnie opisałem temat... Niemniej przykład rozwiązałem niepoprawnie. Popranym natomiast będzie podanie następującego kontrprzykładu: Niech A={a.b} oraz B={x,y} P(A)={Φ,{a},{b},A} P(B)={Φ,{x},{y},B} A\B={a,b,A} P(A)\P(B) = {{a},{b},A} P(A\B) = {Φ,{a},{b},A} Tak więc P(A)\P(B)≠P(A\B)

Lavanos: Heh, oczywiście A\B={a,b} A nie jak napisałem wyżej Jeszcze można dodać: P(A\B)=P(A)