trygonometria luis: Dla jakich wartosci parametru m równanie 3 cos² x − 4 sin x +m −3 = 0 posiada rozwiązania ? Z góry dzięki za pomoc.

Basia: 3(1−sin²x) − 4sinx +m−3 = 0 − 3sin²x − 4sinx + m = 0 /*(−1) 3sin²x + 4sinx − m = 0 t = sinx 3t² + 4t −m = 0 Δ ≥ 0 Δ = 16−4*3*(−m) = 16+12m = 4(4+3m) 4(4+3m)≥ 0 ⇔ 4+3m ≥0 ⇔ 3m ≥ −4 ⇔ m≥−⁴₃ ale to za mało; przynajmniej jeden z pierwiastków musi być liczbą z przedziału <−1; 1>

	−4−2√4+3m		−2 − √4+3m
t1 =		=
	6		3

	−4+2√4+3m		−2+√4+3m
t2 =		=
	6		3

no to wypadałoby rozwiązać:

−2 − √4+3m		−2 − √4+3m
	≥ −1 i		≤1
3		3

lub

−2+√4+3m		−2+√4+3m
	≥−1 i		≤1
3		3

to nie jest trudne, tylko sporo pisania ale jak na razie innego pomysłu nie mam

Artur_z_miasta_Neptuna: 3cos²x = 3(1−sin²x) = 3 − 3sin²x więc: 3 cos² x − 4 sin x +m −3 = −3sin²x − 4sinx + m = 0 t = sin x ; t∊<−1,1> −3t² − 4t + m = 0 war.1 Δ≥0

	4
Δ = 16 + 12m ≥ 0 ⇒ m ≥ −
	3

war 2. t₁ ⋁ t₂ ∊<−1,1>

	4 + √Δ
t1 =
	6

	4 − √Δ
t2 =
	6

rozwiąż

Artur_z_miasta_Neptuna: hej Basiu

pigor: ... np. tak : 3cos²x−4sinx+m−3=0 ⇔ 3(1−sin²x)−4sinx+m−3=0 ⇔ 3−3sin²x−4sinx+m−3=0 ⇔ ⇔ 3sin²x−4sinx+m=0 i Δ_sinx=(−4)²−4*3m<0 /:4 ⇒ 4<3m ⇔ m>⁴₃ ⇔ ⇔ m∊(⁴₃;+∞) − szukany zbiór wartości parametru m. ...

Basia: hej Artur i pigor pigor to za mało; patrz wyżej

pigor: .. o kurcze ja mam źłe ... poknociłem (nie czytam treści uważnie )..

luis: odp to <−4/3 ; 7>

Basia: przeczytaj wpis z 11:20 i dokończ, albo przynajmniej zacznij liczyć jak się pogubisz ktoś Ci pomoże

Basia: można bez rozwiązywania tych nierówności

	−b		−4		−2
wierzchołek paraboli ma odciętą p =		=		=
	2a		6		3

ramiona do góry bo a=3 > 0 wystarczy wobec tego aby funkcja f(t) = 3t² + 4t − m spełniała warunek f(−1)≥0 lub f(1)≥0 stąd 3 − 4 − m ≥ 0 lub 3+4−m ≥ 0 ⇔ −m ≥ 1 lub −m ≥ −7 ⇔ m ≤ −1 lub m ≤ 7 ⇔ m≤ 7 ponieważ z Δ mamy m≥ −⁴₃ to daje m∊< − ⁴₃; 7>

pigor: ...lub dla równania 3sin²x+4sinx−m=0 , niech f_sinx=3sin²x+4sinx−m , to warunki zadania spełnia układ nierówności : Δ≥0 i (f_sinx(−1)≥0 lub f_sinx(1)≥0) ⇔ 16+12m≥0 i (3*(−1)²+4*(−1)−m≥0 lub 3*1²+4*1−m≥0) ⇔ 3m≥−4 i (−1−m≥0 lub 7−m≥0) ⇔ ⇔ (m≥−⁴₃ i m≥−1) lub (m≥−⁴₃ i m≤7) ⇔ m∊∅ lub −⁴₃≤m≤7 ⇔ ⇔ m∊ <−⁴₃ ;7> . ...

Basia: pierwsza

pigor: ... no właśnie, gratuluje pomysłu i pozdrawiam . ... )

luis: no bez nierównosci duż oprzyjemniejsza forma

Mila: po podstawieniu sinx=t 3t² + 4t −m = 0 3t²+4t=m i |t|<1 Metoda graficzna: f(t)=3t²+4t miejsca zerowe:

	−4
t1=0 lub t2=
	3

	−2
tw=		należy do przedziału <−1,1>
	3

	−2		−4
f(		)=		wartość najmniejsza funkcji f(x)
	3		3

szukam wartości największej w przedziale <−1,1> f(−1)=−1 f(1)=3*1 +4*1=7

	−4
zatem mnalezy do przedziału <		,7>
	3