badanie funkcji Pati: po czym poznac na jakich przedzialach funkcja jest rosnaca lub malejaca i wklesla lub wypukla?

	x2
np na przykladzie funkcji f(x)=		obliczajac pierwsza pochodną wychodzi
	x+1

	x2+2x
		przyrownujac do 0 otrzymujemy x=0 i x=−2 wiec fmax=−2 a fmin=0 w
	(x+1)2

dodatku funkcja nie istnieje w −1. I po czym poznać na jakim przedziale jest rosnąca a na jakim malejąca?

krystek: f↗⇔f'>0 f↘⇔f'<0

Basia: po znaku pochodnej mianownik jest stale dodatni więc nie wpływa na znak pochodnej licznik = x(x+2) x(x+2) < 0 ⇔ x∊(−2,0) x(x+2) > 0 ⇔ x∊(−∞;−2)∪(0;+∞) no teraz rozpisujesz przedziałami "od lewej" pamiętając, że −1∉D czyli x∊(−∞, −2) ⇒ f'(x) > 0 ⇒ f.rośnie x∊(−2;−1) ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f.maleje x∊(−1;0) ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f.maleje x∊(0;+∞) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f.rośnie

Pati: aha dzieki wielkie. A jak obliczyc przedzialy wypuklosci i wkleslosci tej funkcji? drugiej pochodnej nie mozna przyrownac do 0 wiec nie ma punktu przegiecia

Pati: To bedzie analogicznie jak wyzej tylko teraz patrzec na znak mianownika drugiej pochodnej ktory wynosi (x+1)³ czyli dla x<−1 przyjmie wartosc ujemna i funkcja bedize wklesla a dla x>−1 wartosc dodatnia i funkcja bedize wypukla?

Basia: a jaka jest ta druga pochodna ? możesz napisać jak policzyłaś ?

Basia: mnie wyszło

	2(−x2−2x+1)
f"(x) =
	(x+1)3

no i tu musisz uwzględniać mianownik M < 0 ⇔ x< −1 M > 0 ⇔ x> −1 −x²−2x+1 = 0 Δ = 4 − 4*(−1)*1 = 8 √Δ = 2√2

	2−2√2
x1 =		= −1+√2
	−2

	2+2√2
x2 =		= −1 − √2
	−2

Licznik < 0 ⇔ x∊(−∞; −1−√2)∪(−1+√2; +∞) Licznik > 0 ⇔ x∊(−1−√2; −1+√2) ( w tym przedziale jest −1) no to mamy: x∊(−∞; −1−√2) ⇒ L<0 i M<0 ⇒ f">0 ⇒ f.wypukła x∊(−1−√2; −1) ⇒ L>0 i M<0 ⇒ f"<0 ⇒ f.wklęsła x∊(−1; −1+√2) ⇒ L>0 i M>0 ⇒ f">0 ⇒ f.wypukła x∊(−1+√2;+∞) ⇒ L<0 i M>0 ⇒ f"<0 ⇒ f.wklęsła czyli masz dwa punkty przegięcia x = −1−√2 i x=−1+√2 (bo −1 odpada, jako, że nie należy do dziedziny)

Pati:

	x2+2x		2
pochodna pochodnej czyli (		)' =
	(x+1)2		(x+1)3

Pati:

	(2x+2)(x+1)2 − (2(x+1)x2+2x)
f''(x) =		(ze wzoru na pochodna ilorazu) po skroceniu
	(x+1)4

	2
wychodzi
	(x+1)3

Pati: Basiu moglabys powiedziec jakim sposobem wyliczylas f''(x) ze wyszedl Ci taki wynik?

Basia:

	x2+2x
f'(x) =
	(x+1)2

	(2x+2)(x+1)2 − 2(x+1)(x2+2x)
f"(x) =		=
	(x+1)4

(x+1)[ (2x+2)(x+1) − 2(x2+2x) ]
	=
(x+1)4

2x2 + 2x + 2x + 2 − 2x2 − 4x
	=
(x+1)3

2
(x+1)3

musiałam się gdzieś przedtem pomylić czyli x∊(−∞; −1) ⇒ f"(x) < 0 ⇒ f.wklęsła x∊(1;+∞) ⇒ f"(x) > 0 ⇒ f.wypukła