nierówność log. kwadrat: ^|log(x−1)|_x¹−1≤log(x−1)²

Basia: napisz jeszcze raz, bo zapis jest nieczytelny; pisząc ułamek użyj dużej litery U

Pain:

	| log(x−1) |
chyba to powinno wygladać tak :		≤ log(x−1)2
	x1−1

(btw... x¹ )

kwadrat:

|log(x+1)|
	≤ log(x+1)2
x2−1

Basia: no właśnie to x¹ jest bez sensu; lepiej poczekajmy na reakcję autora

Basia: x+1 > 0 x > −1 1. log(x+1) < 0 ⇔ x+1 < 1 ⇔ x <0 czyli dla x∊(−1;0) mamy

	log(x+1)
−		≤ 2log(x+1) /: log(x+1) (jest tutaj stale ujemny)
	x2−1

	1
−		≥ 2 /*(−1)
	x2−1

1
	≤ −2
x2−1

1
	+ 2 ≤ 0
x2−1

1+2x2−2
	≤ 0
x2−1

2x2 −1
	≤ 0
x2−1

ponieważ x²−1 jest tutaj stale ujemne musi być 2x² − 1 ≥ 0

	√2		√2		√2
x∊ [(−∞; −		>∪<		;+∞)]∩(−1;0) = (−1; −		>
	2		2		2

2. log(x+1) ≥ 0 ⇔ x+1≥1 ⇔ x≥ 0 ⇔ x∊<0;+∞) wtedy mamy

log(x+1)
	≤ 2log(x+1)
x2−1

dla x=0 mamy

log1
	≤ 2*log1
0−1

0
	≤ 2*0
−1

0 ≤ 0 prawda x=0 należy do zbioru rozwiązań dla x>0

log(x+1)
	≤ 2log(x+1) /: log(x+1) (jest dodatni)
x2−1

1
	≤ 2
x2−1

1
	− 2 ≤ 0
x2−1

1−2x2+2
	≤ 0
x2−1

3−2x2
	≤ 0
x2−1

potrafisz sobie dokończyć ?

kwadrat: można dzielić zawsze przez log

Basia: nie zawsze, ale ponieważ i tak rozważam dwa przypadki z powodu wartości bezwzględnej to już wiem, że w (1) ten mój logarytm jest ujemny, a w (2) dodatni no to mogę sobie podzielić, ale nie muszę; mogę przenieść na lewą i wyłączyć log(x+1) przed nawias; na to samo wyjdzie

kwadrat: nie rozumiem tego 1 podpunktu! jeżeli x.0

	|log(x+1)|
to		≤2log(x+1)
	x2−1

−log(x+1)
	−2log(x+1)2≤0
x2−1

	−1
log(x+1)(		−2)≤0
	x2−1

−1		2x2−2
	−		≤0
x2−1		x2−1

−1−2x2+2
	≤0
x2−1

−2x2+1
	≤0
x2−1

	−√2
i wychodzi że x<0 ⇒ x∊(−∞,−1>u<		,√22> u <1,+∞)
	2

Basia: przecież 1. x+1 > 0 ⇔ x> −1 2. w (1) rozpatrujesz przypadek log(x+1) < 0 ⇔ x+1 < 1 ⇔ x <0 ale z założenia x> −2 czyli rozważasz przedział x∊(−1; 0) tylko 3. skoro log(x+1)<0 i iloczyn ma być ≤0 to

−2x2+1
	musi być ≥ 0
x2−1

	√2
a to Ci daje przedział (−1; −		>
	2

Basia: tam jest literówka w 2. w drugim wierszu ale z założenia x> −1

kwadrat: to akurat rozumiem że x∊(−1,0)

	−√2
ale dlaczego wychodzi x∊(−1;		)
	2

	−√2
jak przedział wynosi x∊(−∞,−1>u<		,0)
	2

kwadrat: ?

kwadrat:

kwadrat:

Basia: przeczytaj punkt 3 z ostatniego wpisu

Basia:

	−2x2+1
licz kiedy		≥ 0
	x2−1

i weź część wspólną z (−1;0)

Basia: a czekaj może tam jest błąd

Basia: (−2x²+1)(x²−1) ≥ 0 −2x⁴ + 2x² + x² −1 ≥ 0 −2x⁴ + 3x² − 1 ≥ 0 2x⁴ − 3x² + 1 ≤ 0 2t² − 3t + 1 ≤ 0 Δ = 9 − 8 = 1

	3−1		1
t1 =		=
	4		2

	3+1
t2 =		= 1
	4

t∊ (−∞; ¹₂> ∪ (1;+∞) x² ≤ ¹₂ lub x² > 1

	√2		√2
x∊<−		;		; +∞>
	2		2

lub x∊(−∞; −1) ∪ (1;+∞) i teraz część wspólna z (−1;0)

	√2
no to nie chce być inaczej tylko (−1; −		>
	2

Basia: piąta linijka od dołu:

	√2		√2
x∊<−		;		>
	2		2