Równania różniczkowe 1 rzedu Rozpas:

y'
	= y2 + 4x + 4 <−−−− Mam rozwiązać takie równanie różniczkowe. Czy poniższy sposób
lnx

jest poprawny?

y'
	= lnx
y2 + 4x + 4

y'
	= 0 itp....
y2 + 4x + 4

Rozpas: tam nie ma byc 4x tylko 4y sory

Krzysiek: i to wszystko zmienia

y'
	=(y+2)2
lnx

	dy
czyli rozdzielając zmienne: ∫		=∫lnxdx
	(y+2)2

Rozpas: krzysiek a po czym poznać że właśnie w ten sposób rozdzielając zmienne a nie tak jak się rozwiązuje równania różniczkowe pierwszego rzędu ? Ja bym to liczył tak jak wyżej czyli lewą stonę przyrwónuję do zera itd

Artur z miasta Neptuna: zawsze rozwiązujesz rozdzielając zmienne

	dy
co Ci da przyrównanie do zera jak y' =		i y(x) Jak chcesz wyznaczyć y(x) ?
	dx

Rozpas: no a dajmy na to takie rownanie rozniczkowe y' − y = 4e^x Też byś rozdzielal zmienne czy liczyl tak jak mowilem wczesniej ?

Rozpas: chodzi mi o to jak mam rozpoznac kiedy rozdzielac zmienne a kiedy liczyc inaczej

Krzysiek: tylko, że to jest równanie liniowe niejednorodne więc jest to inne równanie od poprzedniego... po prostu musisz 'widzieć' jakie równanie masz do rozwiązania w tamtym przykładzie miałeś y² więc od razu widać, że nie jest to liniowe równanie (podobne do równania Riccatiego więc co najwyżej można przekształcić do liniowego )

Rozpas: A mógłbyś mi tylko napisać jakim sposobem mam te całki rozwaizac:

	1
a)		y' = ex*√y−1*cosx
	2

b) y'(x⁴+x² − y = 0 c) y' − 2xy = e^x2arctanx, y(0) = 5

	1		pi		1
d) xy' + y =		, y(		) = −
	sinx		2		4

	pi
e) y'cos2x − 4ysin2x = 1, y(		) = 2
	12

Krzysiek: a) podziel przez √y−1 i 'pomnóż' obustronnie przez 'dx' i masz równ. o rozdzielonych zmiennych c)równ. liniowe niejednorodne, niejednorodne rozwiązujesz metodą uzmienniania stałej d)dzielisz przez 'x' obustronnie i jak wyżej e)dzielisz przez cos2x i jak wyżej np: c) jednorodne: y'−2xy=0 czyli: y₁ =Ce^x2 −rozwiązanie równania jednorodnego metoda uzmienniania stałej: y=u(x)e^x2 wstawiamy do równania: u'(x)e^x2 +2xu(x)e^x2 −2xe^x2 =e^x2 arctgx zatem: u(x)=∫arctgx dx

Rozpas: b) y'(x⁴ + x²) − y = 0 To też uzmiennianie stalej ? I dlaczego a) to jest równanie jednorodne ?

ZKS:

	y
y' =
	x4 + x2

dy		dx
	=
y		x4 + x2

	dy
∫		= ln | y |
	y

	dx		dx		dx		1
∫		= ∫		− ∫		= −		− arctg(x) + C1
	x4 + x2		x2		x2 + 1		x

	1
ln | y | = −		− arctg(x) + C1
	x

y = C * e^{−1/_x − arctg(x)}