Znaleźć całki ogólne układów równań różniczkowych liniowych Marcon: Znaleźć całki ogólne układów równań różniczkowych liniowych : a) x' = −7x + y y' = −2x − 5y b) x' = 4x − y y' = 3x + y − z z' = x + z

Krzysiek: a) y=x'+7x wstawiam do drugiego równania: x''+7x' =−2x−5x'−35x i już masz zwykłe równanie liniowe b) podobnie

Marcon: Hmmm, seems legit, A co potem z tym równaniem liniowym, bo nie do końca na wykładzie uważałem? I jeśli ten drugi przykład można by rozpisać tak jak 1 krok po kroku.

Krzysiek: rozwiązujesz równanie charakterystyczne i w zależności od pierwiastków rozwiązanie równania liniowego jednorodnego jest inne

Marcon: Znaczy: s² +2s−37=0 Znaleźć pierwiastki tego zapisać je jako y1=e⁽wartość pierwiastka)t itp, a potem funkcję jako y(x)=C₁y1+C₂y2... i to jest ta cała całka ogólna?

Krzysiek: tak, tylko jak pierwiastek jest podwójny albo pierwiastkami są liczby zespolone(akurat w tym przypadku,źle przeniosłeś/aś na lewą stronę ) to rozwiązanie jest innej postaci

Marcon: No tak, źle przeniosłem powinno być s²+13s + 37 = 0, mea culpa. Dla zespolonych jest asin(bt), a sprzężenie to acos(bt o ile dobrze pamiętam. Wciąż jednak nie do końca widzę podstawienie w b. I pytanie dodatkowe niezależnie od ilości równań całką ogólną jest zawsze jakieś y(t) ?

Krzysiek: zamiast 'a' jest e^at (jeżeli pierwiastek jest postaci: a+bi) b) np: z pierwszego wyliczasz 'y' wstawiasz do drugiego równania i wyliczasz z niego 'z' i wstawiasz do trzeciego równania co do tego pytania, jak wyznaczysz 'y' to przecież jeszcze musisz wyznaczyć następne niewiadome.. czyli w a) jeszcze 'x' (poza tym przecież w a) wyliczasz najpierw x(t) , a potem y(t) )

Marcon: Okeeej, mam x(t) i y(t) i teraz co ? Po prostu te 2 równania są rozwiązaniem, czy coś jeszcze trzeba z nimi zrobić ?